David Stanovský    //   

ALGEBRAICKÉ KŘIVKY 2020/21

Sylabus:

  1. Základy algebraické geometrie v afinních prostorech - Galoisova korespondence IV, ireducibilní rozklady (z větší části bylo na přednášce Komutativní okruhy)
  2. Okruhy polynomiálních zobrazení - souřadnicové okruhy, lokalizace v bodě, ideály s konečnou V(I)
  3. Lokální vlastnosti křivek v rovině - násobnost bodu a tečny, křížicí číslo
  4. Základy algebraické geometrie v projektivních prostorech - projektivní prostory, homogenní polynomy a ideály, vztah afinních a projektivních algebraických množin, projektivní verze věty o nulách
  5. Lokální vlastnosti křivek v projektivní rovině - násobnost bodu a tečny, křížicí číslo, Bezoutova věta, aplikace

Přednáška: Podkladovým materiálem je učebnice Williama Fultona, vybrané části kapitol 1-5. Kniha obsahuje pěkně setříděný materiál, ale podle mého názoru se nedá číst. Zpracoval jsem tedy zápisky, které jsou okomentované na videích. V rámci přednášek si tyto zápisky nastudujte. Pouze první přednáška bude v reálném čase, dále budete pokračovat samostudiem. Čas přednášky můžeme využít na konzultace.

Cvičení vede student geometrie Filip Strakoš. Zhruba týden předem dostanete zadání, na které se před cvičením podíváte (můžete ve skupinkách) a cvičícímu odevzdáte své přípravy. Na cvičeních budete debatovat o řešení, k vybraným úlohám dostanete vzorová řešení. Přípravy se kontrolují na zápočet, viz níže.

Předběžný plán / Průběžně aktualizovaný program přednášky:

téma Fulton zápisky + video kvízy cvičení
2.3.Motivace: Bézoutova věta a eliptické křivky. --- Bézoutova věta, elitptické křivky
video Bézout video eliptické křivky		 --- zadání, video, tabule
9.3.Shrnutí Galoisovy korespondence IV, ireducibilní rozklady (opakování).
Kritérium konečnosti V(I). Algebraické množiny v rovině. 		1.1-1.7 zápisky + videokomentář str. 1-3, str. 4-8 Q1, výsledky zadání, video, tabule
úloha 4 dotaz
16.3.Souřadnicové okruhy a polynomiální zobrazení. Izomorfismus variet a afinní změna souřadnic. 2.1-2.3 zápisky + errata + videokomentář --- zadání, video, tabule
23.3.Racionální funkce a lokalizace v bodě. 2.3, 2.4 zápisky + videokomentář Q2, výsledky zadání, video, tabule
Gamma(hyperbola), úloha 6
30.3.Direktní rozklad K[x1,...,xn]/I pro ideály s konečnou V(I). 2.8, 2.9 zápisky + komentář + videokomentář Q3, výsledky zadání, video, tabule
6.4.Násobnost bodu, tečny v bodě. 2.9, 3.1 zápisky + komentář + videokomentář Q4, výsledky zadání, video, tabule
13.4.Násobnost bodu vs. vlastnosti lokalizace. 3.2 zápisky + komentář + video část 1, část 2
krátká exaktní psl. - video + zápisky		 Q5, výsledky zadání, video, tabule
20.4.Křížicí číslo. 3.3 zápisky + komentář + video část 1, část 2 Q6, výsledky zadání, video, tabule
27.4.Úvod do projektivní algebraické geometrie. 4.1, 4.2 zápisky + komentář + video část 1, část 2 --- zadání, video, tabule
4.5.Projektivní verze Galoisovy korespondence IV, projektivní věta o nulách. 4.2 zápisky + komentář + video Q7, výsledky zadání, video, tabule
11.5.Vztah afinních a projektivních variet. 4.2, 4.3 zápisky + komentář + video --- zadání, video, tabule
18.5.Projektivní souřadnicové okruhy, křížicí čísla, projektivní transformace. 4.2, 4.3 zápisky + komentář + video --- zadání, video, tabule
25.5.Bézoutova věta. 5.1, 5.3 zápisky + komentář + video --- zadání, video, tabule
1.6.Aplikace Bézoutovy věty:
Pascalovo hexagrammum mysticum, Cayley-Bacharachova věta, grupa na eliptické křivce.		 --- zápisky + komentář + video
+ více o grupové operaci na el. křivkách
doplňující informace:
blog Terrence Tao
text J. Hisela (bacha jsou tam chyby)
---Bonus: Algebraické křivky, Langlandsův program a velká Fermatova věta --- video Kena Ribeta + komentář
článek Víti Kaly

Literatura:

Konzultace: kdykoliv osobně či on-line po předchozí domluvě emailem. Ptejte se, kdykoliv něčemu nerozumíte! K dotazům můžete využít i kvízy.

Kontrola studia:

Zápočet se uděluje za přípravu na cvičení. Získání bodu je podmíněno odesláním přípravy, která bude obsahovat alespoň jednu úlohu vypracovanou správně a nadpoloviční počet úloh vyřešených správně, rozpracovaných nebo vyřešených chybně (nebude-li ani jedna správně, bude to možné odčinit náhradní úlohou). K získání zápočtu bude třeba aspoň 75% bodů. Na některé týdny žádná zadání nebudou (typicky v druhé polovině semestru), v tom případě se předem nic neřeší a bod se neuděluje (typicky se budou probírat detaily teorie nebo dodělávat starší úlohy). Přípravy posílejte v jednom dokumentu ve formátu pdf do nedělní půlnoci na email fstrakos@karlin.mff.cuni.cz. Cvičení je doporučeno řešit v malých skupinkách (ideálně třeba po třech), ale řešení pište každý sám a sepsaná řešení již nesdílejte.

Kvízy: Průběžné studium teorie se kontroluje pomocí on-line kvízů, zadání a termín vyplnění najdete v tabulce. Kvízy se počítají se jako bonusové body ke zkoušce, jeden kvíz = max. 1 bod (ze 100), kvízů bude celkem tak 5-10.

body z cvičení a kvízů

Zkouška bude písemná. Kvízy se započítávají ke zkoušce, jeden kvíz = max. jeden bod (ze sta). Zkoušet se budou početní i teoretické úlohy (výklad látky, důkazy), vycházející z témat probraných na přednášce a cvičeních. Test bude trvat 120 minut. Termíny a přihlašování je v SISu. Na základě výsledku testu určím známku.