Hlavním tématem tohoto týdne je jediná věta, jejíž znění najdete na str. 18. Využití bude v několika důkazech týkajících se násobnosti bodu a vlastností křížicích čísla (jehož definice je inspirována touto větou). Rozmyslete si co nejvíc příkladů, na které by se věta mohla aplikovat. 

Důkaz Věty je poměrně dlouhý. Lemmata 1A, 1B, 1C platí pro obecné okruhy, Lemma 1D je jejich důsledkem pro specifické ideály I_j=I({A_j}), které hrají zásadní roli v této větě. V druhé části se konstruují polynomy e_i s jistými zajímavými vlastnostmi modulo zadaný ideál I (dva prvky jsou kongruentní modulo ideál I, pokud a-b in I). V třetí části se pak dokazuje zmíněný izomorfismus, přičemž polynomy e_i se použijí jak výpočtu jádra, tak k nalezení vzoru.

Na přednášce jsem nikdy nestíhal důkaz dokončit za jednu přednášku, ale zkuste to přečíst celé najednou, příště toho bude o trochu méně.


Doplnění zápisků:

1) V zápiscích se přechází mlčením, proč jsou ideály IO_A vlastní. To je vidět až tak na druhý pohled, koukněte na video.

2) Proč jsou ideály I_1,I_2,...,I_N v důkazu Lemmatu 1D komaximální? 
Dokážu, že I1 + (průnik ostatních) = celý okruh polynomů. Mějme polynom f. Rozložím ho jako (f-g) + g, kde g je libovolný polynom, který se nuluje v A2,...,AN a platí g(A1)=f(A1). Takový jistě existuje (interpolace).