3.2 Mnohočleny, početní operace
Definice
Nechť je \(n\) přirozené číslo nebo nula, \(a_0, a_1, \cdots , a_n\) jsou reálná čísla a \(x\) je reálná proměnná. Pak mnohočlen (polynom) \(n\)-tého stupně s jednou proměnnou \(x\) je výraz, který můžeme zapsat jako \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0\), kde \(a_n \neq 0\).Příkladem mnohočlenu, tedy speciálního výrazu, je např. \(3x^4 - 5x^2 + \frac {1} {2}\), což lze detailně rozepsat jako \(3x^4 + 0x^3 + (-\,5)x^2 + 0x^1 + \frac {1} {2}x^0\). Polynomem ovšem není výraz \(\displaystyle 6x^3 + 2x + \frac {4} {x^2}\,\), tj. \(\displaystyle 6x^3 + 2x + 4x^{-2}\) (exponent proměnné může být jen nezáporné celé číslo).
Čísla \(a_0, a_1, \cdots , a_n\) se nazývají koeficienty mnohočlenu, sčítanci
\(a_kx^k\) se nazývají členy mnohočlenu. Pro některé členy mnohočlenu máme
speciální pojmenování. Člen \(a_0\) se nazývá absolutní člen mnohočlenu.
Člen \(a_1x^1\) se nazývá lineární člen a člen \(a_2x^2\) se nazývá
kvadratický člen mnohočlenu.
Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu exponentu proměnné v mnohočlenu.
- Mnohočlen 1. stupně (tj. výraz \(a_1x^1 + a_0\), také lze zapsat jako \(ax + b\)) se nazývá lineární.
- Mnohočlen 2. stupně (tj. výraz \(a_2x^2 + a_1x^1 + a_0\), také lze zapsat jako \(ax^2 + bx + c\)) se nazývá kvadratický.
- Mnohočlen nultého stupně je každé reálné číslo různé od nuly.
- Číslo nula nazýváme nulový mnohočlen, jeho stupeň nedefinujeme.
Mnohočlen s jedním členem označujeme jako jednočlen, se dvěma členy jako dvojčlen, se třemi členy jako trojčlen, atd.
Například výraz \(4x^2 - 2x + 5\) je kvadratický mnohočlen, tj. mnohočlen 2. stupně, s proměnnou \(x\).
Jedná se o trojčlen (má tři sčítance). Koeficient u kvadratického členu je roven \(4\), koeficient u lineárního členu je roven \(-\,2\). Absolutní člen je roven \(5\).
Mnohočleny mohou mít obecně i více proměnných. Jako příklad mnohočlenu se dvěma proměnnými lze uvést výraz \(3x^5 + 2y^4 - 6x^3y^2 + 7\) nebo \(12x^2 - 8y\). Příkladem mnohočlenu se třemi proměnnými je výraz \(x + y^4 - z^{12} - 4\) či \(2xy^6z - 4yz^3 + x^2y\).
Sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů
Z předcházející kapitoly víme, že sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele. U mnohočlenů bude platit obdobné pravidlo.
U odpovídajících si členů daných mnohočlenů sečteme jednotlivé koeficienty (přičemž některé koeficienty můžou být rovny nule) a opíšeme proměnné.
Poznámka
Odpovídající si členy mnohočlenů jsou takové členy, které mají tytéž proměnné i se stejnými mocniteli.Příklad 3.7
| a) \((2x^2 - 3x) + (-5x^2 + 7x)\) | b) \((3x^3 + 2y - 3xy + 5) + (2x^4 + x^3 - 5xy - 2)\) |
Řešení
Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky
(např. opačným mnohočlenem k mnohočlenu \(4a^5 - 2a + 3\) je mnohočlen \(-\,4a^5 + 2a - 3\)).
Příklad 3.8
| a) \((4a^3 + 5a) - (6a^3 - 2a)\) | b) \((4a^2 - 2b^3 - 3a^3b + 5) - (2a^2 + 3a - 6a^3b - 2)\) |
Řešení
Příklad 3.9
| a) \((3x^2 - 5) \cdot (2x^2 + x)\) | b) \((2x^2 - xy + 7) \cdot (x - 2y^3 + 2)\) |
Řešení
a) \((3x^2 - 5) \cdot (2x^2 + x) = 3x^2 \cdot 2x^2 + 3x^2 \cdot x + (- \,5) \cdot 2x^2 + (- \,5) \cdot x =
6x^4 + 3x^3 - 10x^2 - 5x\)
b) \((2x^2 - xy + 7) \cdot (x - 2y^3 + 2) =
2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-\,2y^3) + 2x^2 \cdot 2 + (-\,xy) \cdot x + (-\,xy) \cdot (-\,2y^3) \; + \)
\(+ \; (-\,xy) \cdot 2 + 7 \cdot x + 7 \cdot (-\,2y^3) + 7 \cdot 2 = 2x^3 - 4x^2y^3 + 4x^2 - x^2y + 2xy^4 - 2xy + 7x - 14y^3 + 14 =\)
\(= 2x^3 + 4x^2 + 7x - 14y^3 - 4x^2 y^3 - x^2y + 2xy^4 - 2xy + 14\)
Počítáme-li součet, rozdíl nebo součin tří a více mnohočlenů, postupujeme obdobně.
Pokud umíme mnohočleny násobit, můžeme vypočítat i jejich \(n\)-tou mocninu pro všechna \(n \in \mathbb N\). Druhou a třetí mocninu dvojčlenu můžeme také určit podle následujících vzorců.
| \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) |
| \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) |
| \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) |
| \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) |
Poznámka
Je výhodné si tyto vzorce zapamatovat, neboť jejich použití usnadní mnohé výpočty, což dokládá následující příklad.Příklad 3.10
\((x^2 - 4)^2\)
Řešení
Využijeme vzorec \((a-b)^2 = a^2-2 \cdot a \cdot b+b^2\). V tomto případě je \(a = x^2\), \(b = 4\).
\((x^2 - 4)^2 = \left(x^2\right)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = x^4 - 8x^2 +16\)
Jiný způsob řešení
Použijeme definici mocniny reálného čísla.
\((x^2 - 4)^2 = (x^2 - 4)(x^2 -4) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot (-4) - 4 \cdot x^2 - 4 \cdot (-4) =
x^4 - 4x^2 - 4x^2 + 16 = x^4 - 8x^2 + 16\)
Součtem, rozdílem a součinem libovolných mnohočlenů je vždy mnohočlen.
Dělení mnohočlenů
a jednotlivé podíly pak sečteme.
Příklad 3.11
\((3t^3 - 6t^2u + 9tu) \div 3t\)
Řešení
\((3t^3 - 6t^2u + 9tu) \div 3t = (3t^3 \div 3t) + (-\,6t^2u \div 3t) + (9tu \div 3t) = t^2 - 2tu + 3u\)
Podílem mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen.
Jestliže podílem mnohočlenů je mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů beze zbytku (viz předchozí příklad).
Jestliže podílem mnohočlenů není mnohočlen, mluvíme o dělení mnohočlenů se zbytkem (viz následující příklad).
Vzniklý výraz si můžeme rozdělit na dvě části. První část tvoří výraz, který je mnohočlenem, tzv.
neúplný podíl. Druhou částí je výraz, který není mnohočlenem, označujeme jej jako
zbytek.
Poznámka
Terminologie je obdobná jako u dělení čísel. Příkladem dělení čísel beze zbytku je např. výraz \(\frac {8}{2} = 4\). Jako příklad dělení čísel se zbytkem lze uvést výraz \(\frac {7}{3} = 2 + \frac {1}{3}\).Příklad 3.12
\((6k^4 + k^2 - 8) \div 2k\)
Řešení
\(\displaystyle (6k^4 + k^2 - 8) \div 2k = (6k^4 \div 2k) + (k^2 \div 2k) + (-\,8 \div 2k) = 3k^3 + \frac {1}{2}k - \frac {4}{k}\)
Mnohočlen \(\displaystyle 3k^3 + \frac {1}{2}k\) je neúplný podíl. Člen \(\displaystyle - \,\frac {4}{k}\) je zbytek
(mocnina u proměnné v mnohočlenu může nabývat pouze libovolných kladných hodnot nebo nuly. V tomto členu je rovna
\(-\,1\), jelikož \(\displaystyle - \frac {4}{k} = -\,4k^{-1}\), proto tento výraz není mnohočlenem).
A jak vypočítáme podíl mnohočlenů? Omezíme se jen na případy mnohočlenů s jednou proměnnou, kdy bude zároveň platit, že stupeň mnohočlenu, který dělíme, je vyšší nebo roven stupni mnohočlenu, který je dělitelem. Postup je pak následující:
- Nejdříve si členy obou mnohočlenů uspořádáme sestupně (tj. na prvním místě bude člen s proměnnou
s nejvyšším exponentem). - První člen dělence vydělíme prvním členem dělitele, výsledek je prvním členem podílu mnohočlenů.
- Pak tímto dílčím výsledkem vynásobíme všechny členy dělitele a tento výraz odečteme od dělence.
- Pokud je nově vzniklý rozdíl mnohočlenem vyššího stupně než dělitel nebo stejného stupně jako dělitel, zopakujeme celý postup.
- Takto pokračujeme, dokud nedostaneme mnohočlen nižšího stupně než je dělitel nebo nulu.
Poznámka
Ve výrazu \(6 \div 3 = 2\) je dělencem číslo \(6\), dělitelem číslo \(3\) a číslo \(2\) je jejich podíl.
Příklad 3.13
| a) \((-\,2x^3 + 4x^4 + 6) \div (-1 + x^2)\) | b) \((x^3 + 5x - 3 - 3x^2) \div (x - 1)\) |
Řešení
a) Při řešení postupujeme dle návodu:
1. \((4x^4 - 2x^3 + 6) \div (x^2 - 1)\)
2. \(4x^4 \div x^2 = 4x^2\)
3. \(4x^2 \cdot (x^2 - 1) = 4x^4 - 4x^2\)
\((4x^4 - 2x^3 + 6) - (4x^4 - 4x^2) = -2x^3 + 4x^2 + 6\)
Tyto kroky se většinou zapisují následovně (tučně je vyznačen dělenec, dělitel a podíl každého kroku):
\(\; \; (\bf 4x^4 \rm - 2x^3 + 6) \div (\bf x^2 \rm - 1) = \bf 4x^2\)
\(\underline {-(4x^4 - 4x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; -2x^3 + 4x^2 + 6\)
4. \((4x^4 - 2x^3 + 6) \div (\bf x^2 \rm - 1) = 4x^2 \bf - 2x\)
\(\; \underline {-(4x^4 - 4x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \bf -2x^3 \rm + 4x^2 + 6\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \underline {-(- \, 2x^3 + 2x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 4x^2 - 2x + 6\)
5. \((4x^4 - 2x^3 + 6) \div (\bf x^2 \rm - 1) = 4x^2 - 2x \bf + 4\)
\(\; \underline {-(4x^4 - 4x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -2x^3 + 4x^2 + 6\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \underline {-(- \, 2x^3 + 2x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \bf 4x^2 \rm - 2x + 6\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline {-(4x^2 - 4)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -2x + 10\)
V tomto případě je mnohočlen \(4x^2 - 2x + 4\) neúplný podíl, výraz \(-\,2x + 10\) je zbytek
(ve schématu dělení dále nepokračujeme, protože mnohočlen \(-\,2x + 10\) je nižšího stupně než mnohočlen
\(x^2 - 1\)).
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(x^2 - 1 \neq 0\), tj. \(x \neq \pm 1\),
platí:
\(\displaystyle \; \; \; \; \; (4x^4 - 2x^3 + 6) \div (x^2 - 1) = 4x^2 - 2x + 4 + \frac {-2x + 10}{x^2 - 1}\)
O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou:
\(\displaystyle \; \; \; \; \; \left(4x^2 - 2x + 4 + \frac {-2x + 10}{x^2 - 1}\right) \cdot (x^2 - 1) =
4x^4 - 4x^2 - 2x^3 + 2x + 4x^2 - 4 - 2x + 10 = 4x^4 - 2x^3 + 6\)
b) V tomto případě použijeme pouze zkrácený, schematický zápis:
\(\; \; (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) \div (x - 1) = x^2 - 2x + 3\)
\(\underline {- (x^3 - x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; - 2x^2 + 5x - 3\)
\(\; \; \; \; \underline {-(- \, 2x^2 + 2x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 3x - 3\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline {-(3x - 3)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0\)
V tomto případě se jedná o dělení beze zbytku.
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(x - 1 \neq 0\), tj. \(x \neq 1\),
platí:
\(\; \; \; \; \; (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) \div (x - 1) = x^2 - 2x + 3\)
O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou:
\((x^2 - 2x + 3) \cdot (x - 1) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 \)
Cvičení k této části.
