\begin{align}
\end{align}
Cvičení - Zavedení lomených výrazů a jejich krácení
Cvičení 4.1
Urči, zda má pro dané hodnoty proměnné lomený výraz smysl:
Cvičení 4.2
Urči podmínky, za kterých má daný lomený výraz smysl:
a) \(\displaystyle \frac {2r - 8} {3r + 6}\)
\(\displaystyle \; = \frac {2(r - 4)} {3(r + 2)}\)
- Nejprve si lomený výraz vhodně upravíme.
- Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel nenulový,
tedy \(3(r + 2) \neq 0\), tj. \(r \neq -2\).
- Podmínky: \(r \in \mathbb R - \{-\,2\}\)
b) \(\displaystyle \frac {14 - 2r} {r^2 - 7r}\)
\(\displaystyle \; = \frac {14 - 2r} {r(r - 7)}\)
- Nejprve si lomený výraz vhodně upravíme.
- Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel nenulový,
tedy \(r(r - 7) \neq 0\),
tj. \(r \neq 0 \wedge r \neq 7\).
- Podmínky: \(r \in \mathbb R - \{0; 7\}\)
c) \(\displaystyle \frac {\sqrt {r - 10}} {r^2 - 25}\)
\(\displaystyle \; = \frac {\sqrt {r - 10}} {(r + 5)(r - 5)}\)
- Nejprve si lomený výraz vhodně upravíme.
- Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel nenulový,
tedy \((r + 5)(r - 5) \neq 0\),
tj. \(r \neq \pm 5\).
- Zároveň musí být \(r - 10 \geq 0\), tedy \(r \geq 10\) (jinak bychom odmocňovali záporné číslo).
- Podmínky: \(r \in \mathbb R \wedge r \geq 10\)
d) \(\displaystyle \frac {\large \frac {1} {2} \normalsize r^3 - \large \frac {2} {5} \normalsize r} {r^6 + 4}\)
\(\displaystyle \; = \frac {\large \frac {1} {2} \normalsize r^3 - \large \frac {2} {5} \normalsize r}
{(r^3)^2 + 4}\)
- Nejprve si lomený výraz vhodně upravíme.
- Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel nenulový,
tedy \((r^3)^2 + 4 \neq 0\),
tj. \((r^3)^2 \neq - \, 4\). Druhá mocnina
libovolného čísla je vždy nezáporná.
- Podmínky: \(r \in \mathbb R\)
Cvičení 4.3
Urči, zda má pro dané hodnoty proměnné smysl složený lomený výraz \(V\):
Cvičení 4.4
Urči podmínky, za kterých má daný složený lomený výraz smysl:
a) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {2z \, + \,10} {z \, - \,10}}
{\; \; \Large \frac {6z \, + \, 36} {z^3 \, - \, 4z}\; \;} \normalsize =\)
\(\displaystyle \frac {2z + 10} {z - 10} \div \frac {6z + 36} {z^3 - 4z} =\)
\(\displaystyle \frac {2z + 10} {z - 10} \div \frac {6(z + 6)} {z(z^2 - 4)} =\)
\(\displaystyle \frac {2(z + 5)} {z - 10} \div \frac {6(z + 6)} {z(z + 2)(z - 2)}\)
- Jmenovatel
dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \(z - 10 \neq 0\), tj. \(z \neq 10\).
- Ani jmenovatel
dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \(z(z + 2)(z - 2) \neq 0\),
tj. \(z \neq 0 \wedge z \neq \pm 2\).
- Zároveň
dělitel složeného lomeného výrazu musí být nenulový,
tedy \(\displaystyle \frac {6(z + 6)} {z(z + 2)(z - 2)} \neq 0\),
tj. \(6(z + 6) \neq 0\),
proto \(z \neq - \, 6\).
- Podmínky: \(z \in \mathbb R - \{- \, 6; - \,2; 0; 2; 10\}\)
b) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {4z \, + \, 3} {z^2 \, - \,1}} {\; \; \large 4z^2 - 9 \; \;} \normalsize =\)
\(\displaystyle \frac {4z + 3} {z^2 - 1} \div \frac {4z^2 - 9} {1} =\)
\(\displaystyle \frac {4z + 3} {(z - 1)(z + 1)} \div \frac {\left(2z\right)^2 - 3^2} {1} =\)
\(\displaystyle = \frac {4z + 3} {(z - 1)(z + 1)} \div \frac {(2z - 3)(2z + 3)} {1}\)
- Jmenovatel
dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \((z - 1)(z + 1) \neq 0\), tj. \(z \neq \pm 1\).
- Ani jmenovatel
dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \(1 \neq 0\).
Kvůli této podmínce nemusíme vyloučit žádné \(z\) z definičního oboru.
- Zároveň
dělitel složeného lomeného výrazu musí být nenulový,
tedy \(\displaystyle \frac {(2z - 3)(2z + 3)} {1} \neq 0\),
tj. \((2z - 3)(2z + 3) \neq 0\),
proto \(\displaystyle z \neq \pm \frac {3} {2}\).
-
Podmínky: \(\displaystyle z \in \mathbb R - \left\{\pm 1; \pm \frac {3} {2}\right\}\)
c) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {3z \, - \, 12} {z^2 \, + \, 9}}
{\Large \; \; \frac {2z \, + \, 7} {4z^2 \, - \, 4z}\; \;} \normalsize =\)
\(\displaystyle \frac {3z - 12} {z^2 + 9} \div \frac {2z + 7} {4z^2 - 4z} =\)
\(\displaystyle \frac {3z - 12} {z^2 + 9} \div \frac {2z + 7} {4z(z - 1)}\)
- Jmenovatel
dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \(z^2 + 9 \neq 0\), tj. \(z^2 \neq -\,9\). Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, proto nemusíme žádné \(z\) vyloučit
z definičního oboru.
- Ani jmenovatel
dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \( 4z(z - 1) \neq 0\),
tj. \(z \neq 0 \wedge z \neq 1\).
- Zároveň
dělitel složeného lomeného výrazu musí být nenulový,
tedy \(\displaystyle \frac {2z + 7} {4z(z - 1)} \neq 0\), tj. \(2z + 7 \neq 0\),
proto \(\displaystyle z \neq - \, \frac {7} {2}\).
-
Podmínky: \(\displaystyle z \in \mathbb R - \left\{- \, \frac {7} {2}; 0; 1\right\}\)
Cvičení 4.5
Urči společného dělitele daných mnohočlenů:
a) \(8k(k^2 - 4) \;\) a \(\; 12k^2(k + 2)^3\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(8k(k^2 - 4) = 2^3 \cdot k \cdot (k + 2)(k - 2)\)
\(12k^2(k + 2)^3 = 2^2 \cdot 3 \cdot k^2 \cdot (k + 2)^3\)
Společným dělitelem je dle dohody výraz
\(2^2 \cdot k \cdot (k + 2) = 4k(k + 2)\).
b) \((k - 7)^3(k + 4) \;\) a \(\; 9k^3(k^2 - 16)(k - 7)^2\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\((k - 7)^3(k + 4) = (k - 7)^3 \cdot (k + 4)\)
\(9k^3(k^2 - 16)(k - 7)^2 = 3^2 \cdot k^3 \cdot (k + 4) \cdot (k - 4) \cdot (k - 7)^2\)
Společným dělitelem je dle dohody výraz
\((k - 7)^2 \cdot (k + 4)\).
c) \(14(p^2 - 2pk + k^2)(3p + k) \;\) a \(\; 21(p^2 - k^2)(36p + 12k)(p + 1)\)
Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(14(p^2 - 2pk + k^2)(3p + k) = 2 \cdot 7 \cdot (p - k)^2 \cdot (3p + k)\)
\(21(p^2 - k^2)(36p + 12k)(p + 1) = 3 \cdot 7 \cdot (p + k) \cdot (p - k) \cdot 2^2 \cdot 3
\cdot (3p + k) \cdot (p + 1) \)
Společným dělitelem je dle dohody výraz
\(2 \cdot 7 \cdot (p - k) \cdot (3p + k) = 14(p - k)(3p + k)\).
Cvičení 4.6
Rozhodni, zda pro
\(\displaystyle t \in \mathbb R - \left\{-\,1; - \, \frac {1} {5}; 0; 1; 6 \right\}\) platí:
Cvičení 4.7
Zjednoduš lomené výrazy s využitím krácení:
a) \(\displaystyle \frac {8x^2 + 8xy} {8(x + y)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {8x(x + y)} {8(x + y)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {x} {x + y}\)
Výraz má smysl pro taková \(x \in \mathbb R\), \(y \in \mathbb R\),
pro něž \(x \neq - \, y\).
b) \(\displaystyle \frac {9 - 6x + x^2} {x^2 - 9} =\)
\(\displaystyle \frac {(x - 3)^2} {(x - 3)(x + 3)} =\)
\(\displaystyle \frac {x - 3} {x + 3}\)
Výraz má smysl pro \(x \in \mathbb R - \{\pm 3\}\).
c) \(\displaystyle \frac {24x^2 - 54y^2} {12x + 18y} =\)
\(\displaystyle \frac {6(4x^2 - 9y^2)} {6(2x + 3y)} =\)
\(\displaystyle \frac {6(2x - 3y)(2x + 3y)} {6(2x + 3y)} =\)
\(\displaystyle 2x - 3y\)
Výraz má smysl pro taková \(x \in \mathbb R\), \(y \in \mathbb R\),
pro něž \(\displaystyle x \neq - \, \frac {3} {2}y\).
d) \(\displaystyle \frac {y^3 - 1} {5y^2x - 10yx + 5x} =\)
\(\displaystyle \frac {(y - 1)(y^2 + y + 1)} {5x(y^2 - 2y + 1)} =\)
\(\displaystyle \frac {(y - 1)(y^2 + y + 1)} {5x(y - 1)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {(y^2 + y + 1)} {5x(y - 1)}\)
Výraz má smysl pro \(x \in \mathbb R - \{0\}\), \(y \in \mathbb R - \{1\}\).
Pozn. Pro rozklad čitatele jsme využili vzorec \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
e) \(\displaystyle \frac {xy + 4x - y - 4} {2y^2 - 32} =\)
\(\displaystyle \frac {x(y + 4) -1(y + 4)} {2(y^2 - 16)} =\)
\(\displaystyle \frac {(y + 4)(x - 1)} {2(y - 4)(y + 4)} =\)
\(\displaystyle \frac {x - 1} {2(y - 4)}\)
Výraz má smysl pro \(x \in \mathbb R\), \(y \in \mathbb R - \{\pm 4\}\).
f) \(\displaystyle \frac {2xy - 3x + 10y - 15} {2xy - 10y - 3x + 15} =\)
\(\displaystyle \frac {x(2y - 3) + 5(2y - 3)} {2y(x - 5) + 3(-x + 5)} =\)
\(\displaystyle \frac {(2y - 3)(x + 5)} {2y(x - 5) -3(x - 5)} =\)
\(\displaystyle \frac {(2y - 3)(x + 5)} {(x - 5)(2y - 3)} =\)
\(\displaystyle \frac {x + 5} {x - 5}\)
Výraz má smysl pro \(x \in \mathbb R - \{5\}\),
\(\displaystyle y \in \mathbb R - \left\{\frac {3} {2}\right\}\).
Cvičení 4.8 
Zjednoduš lomené výrazy s využitím krácení:
a) \(\displaystyle \frac {x^8 - 16} {2x^4 + 8} =\)
\(\displaystyle \frac {\left(x^4\right)^2 - 4^2} {2(x^4 + 4)} =\)
\(\displaystyle \frac {(x^4 + 4)(x^4 - 4)} {2(x^4 + 4)} =\)
\(\displaystyle \frac {x^4 - 4} {2}\)
-
Výraz má smysl pro taková \(x \in \mathbb R\), pro která je \(x^4 + 4 \neq 0\),
tedy \(\left(x^2\right)^2 \neq - \, 4\).
Druhá mocnina reálného čísla je vždy číslo nezáporné,
proto nemusíme vyloučit žádné \(x\) z definičního oboru.
-
Podmínky: \(x \in \mathbb R\)
b) \(\displaystyle \frac {x^2 + 2x} {2x^3 + 16} =\)
\(\displaystyle \frac {x(x + 2)} {2(x^3 + 8)} =\)
\(\displaystyle \frac {x(x + 2)} {2(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} =\)
\(\displaystyle \frac {x} {2(x^2 - 2x + 4)}\)
Výraz má smysl pro taková \(x \in \mathbb R\), pro která je
\(x + 2 \neq 0 \wedge x^2 - 2x + 4 \neq 0\).
-
První podmínka znamená, že \(x \neq -2\).
-
Druhou podmínku zjistíme doplněním na čtverec:
\(x^2 - 2x + 4 = (x^2 - 2x + 1) + 3\)
\(\; = (x - 1)^2 + 3\).
Víme, že \(x^2 - 2x + 4 \neq 0\),
tj. \((x - 1)^2 + 3 \neq 0\),
tj. \((x - 1)^2 \neq - \, 3\).
Jelikož je druhá mocnina reálného čísla vždy číslo nezáporné,
nemusíme kvůli druhé podmínce vyloučit žádné \(x\) z definičního oboru.
-
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{-\,2\}\)
c) \(\displaystyle \frac {64x^2 - 121} {64x^2 - 176x + 121} =\)
\(\displaystyle \frac {(8x + 11)(8x - 11)} {(8x - 11)^2} =\)
\(\displaystyle \frac {8x + 11} {8x - 11}\)
Podmínky: \(\displaystyle x \in \mathbb R - \, \left\{\frac {11} {8} \right\}\)
