\begin{align}
\end{align}
Cvičení - Vyjádření neznámé ze vzorce
Cvičení 4.26
Vzorec pro objem \(V\) válce lze zapsat ve tvaru
\(\displaystyle V = \frac {\pi d^2} {4}v\),
kde \(v\) značí výšku válce a \(d\) průměr jeho podstavy. Rozhodni, zda lze z tohoto
vzorce odvodit následující vztahy:
Cvičení 4.27
Ze vzorce pro povrch \(S\) kvádru \(S = 2(ab + ac + bc)\), kde \(a\),
\(b\), \(c\) jsou strany kvádru, vyjádři stranu \(c\):
V uvedeném vzorci považujeme povrch \(S\) a délky stran
\(a\), \(b\) za konstanty. Cílem je ze vzorce vyjádřit neznámou \(c\):
\(S = 2(ab + ac + bc)\)
\(S = 2ab + 2ac + 2bc\)
\(2ac + 2bc = S - 2ab\)
\(c(2a + 2b) = S - 2ab\)
\(\displaystyle c = \frac {S - 2ab} {2(a + b)}\)
Vyjádření neznámé \(c\) ze vzorce pro povrch kvádru
má tvar \(\displaystyle c = \frac {S - 2ab} {2(a + b)}\).
Cvičení 4.28
Ve fyzice se lze v rámci tématu optika setkat s tzv. zobrazovací rovnicí vyjadřující vzájemné vztahy mezi
vzdáleností předmětu \(a\), vzdáleností jeho obrazu \(a´\) a ohniskovou vzdáleností
\(f\) od čočky, která má tvar:
\(\displaystyle \frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a´}\)
Na základě uvedeného vzorce doplň chybějící údaje v tabulce:
| předmětová vzdálenost \(a\) (cm) |
\(\; 20 \;\) | \(\; 18 \;\) |
\(\; \; 4 \; \;\) | \(\; 12 \;\) |
| ohnisková vzdálenost \(f\) (cm) |
\(15\) | \(12\) |
\(2\) | \(16\) |
| obrazová vzdálenost \(a´\) (cm) |
\(\) | \(\) |
\(\) | \(\) |
Nejprve si ze vzorce vyjádříme neznámou \(a´\):
\(\displaystyle \frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a´}\)
\(\displaystyle \frac {1} {a´} = \frac {1} {f} - \frac {1} {a}\)
\(\displaystyle \frac {1} {a´} = \frac {a - f} {fa}\)
\(\displaystyle a´ = \frac {fa} {a - f}\)
Nyní dopočítáme obrazovou vzdálenost pro konkrétní hodnoty z tabulky, např. pro \(a = 20\) cm, \(f = 15\) cm
platí:
\(\displaystyle a´ = \frac {15 \cdot 20} {20 - 15}\) cm
\(\displaystyle \; = \frac {15 \cdot 20} {5}\) cm
\(\displaystyle \; = 3 \cdot 20\) cm
\(\displaystyle \; = 60\) cm
| předmětová vzdálenost \(a\) (cm) |
\(\; 20 \;\) | \(\; 18 \;\) |
\(\; 4 \;\) | \(\; 12 \;\) |
| ohnisková vzdálenost \(f\) (cm) |
\(15\) | \(12\) |
\(2\) | \(16\) |
| obrazová vzdálenost \(a´\) (cm) |
\(\bf 60\) | \(\bf 36\) |
\(\bf 4\) | \(\bf - \, 48\) |
Cvičení 4.29
Rovnoměrně zpomalený pohyb hmotného bodu lze popsat následujícími rovnicemi:
(1) \(\displaystyle s = v_0t - \frac {1} {2}at^2 \; \; \;\) (2) \(v = v_0 - at\)
Vyjádři závislost času \(t\) na dráze \(s\) a počáteční rychlosti \(v_0\)
za předpokladu, že konečná rychlost \(v\) je nulová (proměnná \(a\) značí zrychlení):
Dle předpokladu víme, že \(v = 0\). Chceme vyjádřit neznámou
\(t\) pomocí dráhy \(s\) a počáteční rychlosti \(v_0\), využijeme tedy první rovnici.
Nejprve ovšem z druhé rovnice vyjádříme zrychlení \(a\):
\(0 = v_0 - at\)
\(at = v_0\)
\(\displaystyle a = \frac {v_0} {t}\)
Nyní dosadíme do první rovnice:
\(\displaystyle s = v_0t - \frac {1} {2} \cdot \frac {v_0} {t} \cdot t^2\)
\(\displaystyle s = v_0t - \frac {1} {2} \cdot v_0t\)
\(\displaystyle s = t \cdot \frac {1} {2} \cdot v_0\)
\(\displaystyle t = \frac {2s} {v_0}\)
Závislost času \(t\) na dráze \(s\) a počáteční rychlosti \(v_0\) hmotného bodu při
rovnoměrně zpomaleném pohybu lze vyjádřit vztahem \(\displaystyle t = \frac {2s} {v_0}\) za předpokladu,
že koncová rychlost \(v\) je nulová.
Cvičení 4.30 
Odborníci pracují v rámci geografie služeb s tzv. Reillyho modelem, který zjednodušeně tvrdí, že poměr atraktivity
dvou měst z hlediska nákupních příležitostí je pro dojíždějící zákazníky přímo úměrný podílu počtu obyvatel těchto měst
a nepřímo úměrný podílu vzdáleností, kterou musí zákaznící překonat.
Díky tomuto modelu lze mimo jiné vymezit bod rovnováhy mezi městy \(I\) a \(J\),
tj. maximální vzdálenost \(d_{xj}\)
od města \(J\), ze které jsou ochotni zákazníci přijet do tohoto města na nákupy, a to podle vzorce
\(\displaystyle d_{xj} = \frac {d_{ij}} {1 + \sqrt{\large \frac {P_i} {P_j}\normalsize}}\),
kde \(P_i\) značí počet obyvatel města \(I\), \(P_j\) počet obyvatel města
\(J\) a \(d_{ij}\) vzdálenost mezi těmito městy.
Vyjádři z tohoto vzorce vztah pro počet obyvatel města \(I\) a následně rozhodni, při které variantě A až F v tabulce nabývá
neznámá \(P_i\) nejmenší hodnoty:
| Varianta |
A | B |
C | D |
E | F |
| \(P_j\) |
\(8 \, 000\) | \(8 \, 000\) |
\(8 \, 000\) | \(8 \, 000\) |
\(8 \, 000\) | \(8 \, 000\) |
| \(d_{xj}\) (km) |
\(100\) | \(50\) |
\(100\) | \(50\) |
\(100\) | \(50\) |
| \(d_{ij}\) (km) |
\(160\) | \(160\) |
\(140\) | \(140\) |
\(120\) | \(120\) |
Nejprve si ze vzorce vyjádříme neznámou \(P_i\).
\(\displaystyle d_{xj} = \frac {d_{ij}} {1 + \sqrt{\large \frac {P_i} {P_j}\normalsize}}\)
\(\displaystyle d_{xj} \cdot \left(1 + \sqrt{\frac {P_i} {P_j}}\right) = d_{ij}\)
\(\displaystyle 1 + \sqrt{\frac {P_i} {P_j}} = \frac {d_{ij}} {d_{xj}}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac {P_i} {P_j}} = \frac {d_{ij}} {d_{xj}} - 1\)
\(\displaystyle \frac {P_i} {P_j} = \left(\frac {d_{ij}} {d_{xj}} - 1\right)^2\)
\(\displaystyle P_i = \left(\frac {d_{ij}} {d_{xj}} - 1\right)^2 \cdot P_j\)
Pro určení varianty, při které nabývá neznámá \(P_i\) nejmenší hodnoty při konstantní
hodnotě \(P_j\) , není potřeba dosazovat do vztahu
všechny hodnoty z tabulky. Stačí si pořádně prohlédnout vztah pro \(P_i\) .
Lze z něj vyčíst, že hodnota \(P_i\) bude tím menší, čím více se bude poměr
\(\displaystyle \frac {d_{ij}} {d_{xj}}\) blížit \(1\).
Na základě těchto úvah je jasné, že nejmenší hodnoty nabývá neznámá \(P_i\) ve variantě E.
