\begin{align}
\end{align}
Cvičení - Mnohočleny, početní operace
Cvičení 3.11
Rozhodni, zda jsou následující tvrzení o mnohočlenu \(27x^2 - 6x + 14\)
pravdivá:
Cvičení 3.12
Rozhodni, zda jsou následující tvrzení o mnohočlenu \(3y^7 - 12y^5 + 5y^2 - 8\)
pravdivá:
Cvičení 3.13
Vypočítej:
a) \((7a^3 - 2a^2 - 11a + 14) + (3a^4 - 6a^3 + 5a^2 + 8a - 6) = \;\)
\(0a^4 + 3a^4 + 7a^3 + (-\,6a^3) - 2a^2 + 5a^2 - 11a + 8a + 14 + (-\,6) = \;\)
\(= 0a^4 + 3a^4 + 7a^3 - 6a^3 - 2a^2 + 5a^2 - 11a + 8a + 14 - 6 = \;\)\(3a^4 + a^3 + 3a^2 - 3a + 8\)
b) \((3a^3 - 2a^2b + 6b^2 - 5ab) + (-\,2a^3 - a^2 + 3b^2 + 10ab) = \;\)
\(= 3a^3 - 2a^3 - 2a^2b + 0a^2b + 6b^2 + 3b^2 - 5ab + 10ab + 0a^2 - a^2 = \;\)\(a^3 - 2a^2b + 9b^2 + 5ab - a^2\)
c) \((5a^4 - 3a^2 + 2a - 6) - (7a^3 - 2a^2 + 8a + 3) = \;\)
\((5a^4 - 3a^2 + 2a - 6) + (-\,7a^3 + 2a^2 - 8a - 3) = \;\)
\(= 5a^4 + 0a^4 + 0a^3 - 7a^3 - 3a^2 + 2a^2 + 2a - 8a - 6 - 3 = \;\)\(5a^4 - 7a^3 - a^2 - 6a - 9\)
d) \((12a^3b - 7ab^2 - 3a^2 + b) - (9a^3b + 2a^2b - 5a^2 - 3b) = \;\)
\(= (12a^3b - 7ab^2 - 3a^2 + b) + (- \,9a^3b - 2a^2b + 5a^2 + 3b) = \;\)
\(= 12a^3b - 9a^3b + 0a^2b - 2a^2b - 7ab^2 + 0ab^2 - 3a^2 + 5a^2 + b + 3b = \;\)
\(= 3a^3b - 2a^2b - 7ab^2 + 2a^2 + 4b\)
Cvičení 3.14
Vypočítej:
a) \((4t^3 + 2t - 1) \cdot (2t^2 - 4t + 3) = \;\)
\(= 4t^3 \cdot 2t^2 + 4t^3 \cdot (-\,4t) + 4t^3 \cdot 3 + 2t \cdot 2t^2 + 2t \cdot (-\,4t) + 2t \cdot 3 + (-\,1) \cdot 2t^2 + (-\,1) \cdot (-\,4t) + (-\,1) \cdot 3 = \;\)
\(= 8t^5 - 16t^4 + 12t^3 + 4t^3 - 8t^2 + 6t - 2t^2 + 4t - 3 = \;\)\(8t^5 - 16t^4 + 12t^3 + 4t^3 - 8t^2 - 2t^2 + 6t + 4t - 3 = \;\)
\(= 8t^5 - 16t^4 + 16t^3 - 10t^2 + 10t - 3\)
b) \((2t^2u - 3tu + u^2 - 2) \cdot (2t + 3u) = \;\)
\(= 2t^2u \cdot 2t + 2t^2u \cdot 3u + (-\,3tu) \cdot 2t + (-\,3tu) \cdot 3u + u^2 \cdot 2t + u^2 \cdot 3u + (-\,2) \cdot 2t + (-\,2) \cdot 3u = \;\)
\(= 4t^3u + 6t^2u^2 - 6t^2u - 9tu^2 + 2tu^2 + 3u^3 - 4t - 6u = \;\)\(4t^3u + 6t^2u^2 - 6t^2u - 7tu^2 + 3u^3 - 4t - 6u\)
c) \((3u + 2v)^2 = \;\)
\((3u)^2 + 2 \cdot 3u \cdot 2v + (2v)^2 = \;\)\(9u^2 + 12uv + 4v^2\)
d) \((2u - 3)^3 = \;\)
\((2u)^3 - 3 \cdot (2u)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2u \cdot 3^2 - 3^3 = \;\)\(8u^3 - 36u^2 + 54u - 27\)
e) \((u - 3v)^2 = \;\)
\(u^2 - 2 \cdot u \cdot 3v + (3v)^2 = \;\)\(u^2 - 6uv + 9v^2\)
f) \((3 + t)^3 = \;\)
\(3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot t + 3 \cdot 3 \cdot t^2 + t^3 = \;\)\(27 + 27t + 9t^2 + t^3\)
Cvičení 3.15
Vypočítej a stanov podmínky, za kterých má dělení mnohočlenů smysl:
a) \((4x^3 - 2x^2y^3 + 16x^2y) \div 2x^2 = \;\)
\(4x^3 \div 2x^2 + (-\,2x^2y^3) \div 2x^2 + 16x^2y \div 2x^2 = \;\)\(2x - y^3 + 8y\)
Výpočet platí za podmínky, že \(x \in \mathbb R - \{0\}\),
\(y \in \mathbb R\).
b) \((6x^2y - 12xy + 3x - 9) \div 3y = \;\)
\(6x^2y \div 3y + (-\,12xy) \div 3y + 3x \div 3y + (-\,9) \div 3y = \;\)
\(\displaystyle = 2x^2 - 4x + \frac {x} {y} - \frac {3} {y} = \;\)\(\displaystyle 2x^2 - 4x + \frac {x - 3} {y}\)
Výpočet platí za podmínky, že \(x \in \mathbb R\),
\(y \in \mathbb R - \{0\}\).
c) \((2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 6x) \div (2x + 3) = \;\)
\(x^3 \;\)\(- \; 3x^2 \;\)\(+ \; 2x\)
\(\; \underline{-(2x^4 + 3x^3)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -6x^3 - 5x^2 + 6x\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \underline{- (- 6x^3 - 9x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 4x^2 + 6x\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{-(4x^2 + 6x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0\)
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(2x + 3 \neq 0\), tj. \(x \neq - \frac {3} {2}\), platí:
\(\; \; \; \; \; \;\)\((2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 6x) \div (2x + 3) = x^3 - 3x^2 + 2x\)
d) \((x^3 - 3x^2 - 20x + 30) \div (x - 5) = \;\)
\(x^2 \;\)\(+ \; 2x \;\)\(- \; 10\)
\(\; \underline{ -(x^3 - 5x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2x^2 - 20x + 30\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \underline{ -(2x^2 - 10x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - 10x + 30\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{ - (- \, 10x + 50)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -20\)
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je
\(x - 5 \neq 0\), tj. \(x \neq 5\), platí:
\(\; \; \; \; \; \;\)\((x^3 - 3x^2 - 20x + 30) \div (x - 5) = x^2 + 2x - 10 - \large \frac {20} {x - 5}\)
e) \((8x^4 + 4x^2 - 2x + 6) \div (2x^2 - 4) = \;\)
\(4x^2 \;\)\(+ \; 10\)
\(\; \underline{ - (8x^4 - 16x^2)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 20x^2 - 2x + 6\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \underline{- (20x^2 - 40)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - 2x + 46\)
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(2x^2 - 4 \neq 0\), tedy \(x^2 \neq 2\),
tj. \(x \neq \pm \sqrt{2 \;}\), platí:
\(\; \; \; \; \; \;\)\((8x^4 + 4x^2 - 2x + 6) \div (2x^2 - 4) = 4x^2 + 10 + \Large \frac {-2x \, + \, 46} {2x^2 \, - \, 4}\)
f) \((6x^5 + 17x^3 - 21x^2 + 5x - 7) \div (3x^2 + 1) = \;\)
\(2x^3 \;\)\(+ \; 5x \;\)\(- \; 7\)
\(\; \underline{ - (6x^5 + 2x^3)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 15x^3 - 21x^2 + 5x - 7\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{- (15x^3 + 5x)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; - 21x^2 - 7\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{- (- \, 21x^2 - 7)}\)
\(\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0\)
Pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(3x^2 + 1 \neq 0\), tj. tato podmínka je splněna vždy, platí:
\(\; \; \; \; \; \;\)\((6x^5 + 17x^3 - 21x^2 + 5x - 7) \div (3x^2 + 1) = 2x^3 + 5x - 7\)
Cvičení 3.16 
Vypočítej:
a) \(\left(5a^{n+2} + 3a^n - 7a \right) + \left(2a^{n+2} - 6a^n + 3a\right) = \;\)
\(= 5a^{n+2} + 2a^{n+2} + 3a^n - 6a^n - 7a + 3a = \;\)\(7a^{n+2} - 3a^n - 4a\)
b) \(\left(12a^{2n-3} + 6a^{2n-2} - 5a^{2n-1} + 3a^{2n}\right) - \left(2a^{2n-3} - 3a^{2n-2} - 7a^{2n-1} + 2a^{2n}\right) = \;\)
\(= (12a^{2n-3} + 6a^{2n-2} - 5a^{2n-1} + 3a^{2n}) + (- 2a^{2n-3} + 3a^{2n-2} + 7a^{2n-1} - 2a^{2n}) = \;\)
\(= 12a^{2n-3} - 2a^{2n-3} + 6a^{2n-2} + 3a^{2n-2} - 5a^{2n-1} + 7a^{2n-1} + 3a^{2n} - 2a^{2n} = \;\)\(10a^{2n-3} + 9a^{2n-2} + 2a^{2n-1} + a^{2n}\)
c) \(2a^2 - \left(3b - b^2\right) + \Large\{\normalsize 3b^2 - 2a - \left[a^2 - (4 - 5b)\right] + 1\Large\} = \;\)
\(= 2a^2 - 3b + b^2 + \Large\{\normalsize 3b^2 - 2a - \left[a^2 - 4 + 5b\right] + 1\Large\} = \;\)
\(= 2a^2 - 3b + b^2 + \left(3b^2 - 2a - a^2 + 4 - 5b + 1\right) = \;\)\(2a^2 - 3b + b^2 + 3b^2 - 2a - a^2 + 4 - 5b + 1 = \;\)
\(= 2a^2 - a^2 - 2a + b^2 + 3b^2 - 3b - 5b + 4 + 1 = \;\)\(a^2 - 2a + 4b^2 - 8b + 5 = \;\)\(a^2 - 2a + 1 + 4b^2 - 8b + 4 = \;\)
\(= (a - 1)^2 + (2b - 2)^2\)
d) \(3a^3 - \Large\{\normalsize b^3 - \left[-3ab^2 - \left(2a^3 + 3a^2b\right)\right] - 6ab^2\Large\} = \;\)
\(3a^3 - \Large\{\normalsize b^3 - \left[-3ab^2 - 2a^3 - 3a^2b\right] - 6ab^2\Large\} = \;\)
\(= 3a^3 - \left(b^3 + 3ab^2 + 2a^3 + 3a^2b - 6ab^2\right) = \;\)\(3a^3 - b^3 - 3ab^2 - 2a^3 - 3a^2b + 6ab^2 = \;\)
\(= 3a^3 - 2a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 6ab^2 - b^3 = \;\)\(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = \;\)\((a - b)^3\)
Cvičení 3.17
Vypočítej:
a) \(p^2q(p + q + 2) - p^3(q - 3) - (2p^2q + 3p^3) = \;\)
\(p^3q + p^2q^2 + 2p^2q - p^3q + 3p^3 - 2p^2q - 3p^3 = \;\)
\(= p^3q - p^3q + 3p^3 - 3p^3 + p^2q^2 + 2p^2q - 2p^2q = \;\)\(p^2q^2\)
b) \(2p(2p - 3q) + 5q(2p + 1) - (5q - q^2) = \;\)
\(4p^2 - 6pq + 10pq + 5q - 5q + q^2 = \;\)
\(= 4p^2 + 4pq + q^2 = \;\)\((2p + q)^2\)
c) \(p^2q(1 + 2q) - 2p \Large\{\normalsize q^2(p + 3q) - \left[2q - q\left(2 - 3q^2\right)\right]\Large\} = \;\)
\(= p^2q + 2p^2q^2 - 2p \Large\{\normalsize pq^2 + 3q^3 - \left[2q - 2q + 3q^3\right]\Large\} = \;\)
\(= p^2q + 2p^2q^2 - 2p\left(pq^2 + 3q^3 - 3q^3\right) = \;\)\(p^2q + 2p^2q^2 - 2p^2q^2 = \;\)\(p^2q\)
d) \(2p(q - q^2) + 2q \left[p - 2(p + q^2) - q(3q - p)\right] = \;\)
\(2pq - 2pq^2 + 2q\left[p - 2p - 2q^2 - 3q^2 + pq\right] = \;\)
\(= 2pq - 2pq^2 + 2q\left[-p - 5q^2 + pq\right] = \;\)\(2pq - 2pq^2 - 2pq - 10q^3 + 2pq^2 = \;\)
\(= -2pq^2 + 2pq^2 + 2pq - 2pq - 10q^3 = \;\)\(-\,10q^3\)
