Základní poznatky z matematiky

a) $\displaystyle \frac {x + 5} {x + 3}$

b) $\displaystyle \frac {4} {5z - 2}$

c) $\displaystyle \frac {\sqrt{s - 2}} {s^2 + 4}$

Řešení

a) Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel různý od nuly (v opačném případě bychom dělili nulou, což je nepřípustná operace), tedy $x + 3 \neq 0$, tj. $x \neq -3$. Podmínky: $x \in \mathbb R - \{-\,3\}$

b) Lomený výraz má smysl, pokud $5z - 2 \neq 0$, tedy $\displaystyle z \neq \frac {2} {5}$. Podmínky: $\displaystyle z \in \mathbb R - \left\{\frac {2} {5} \right\}$

c) Lomený výraz má smysl, pokud $s^2 + 4 \neq 0$, tj. $s^2 \neq - \, 4$. Tato podmínka je splněna vždy (druhá mocnina libovolného čísla je nezáporné číslo). Zároveň musíme zaručit, že v čitateli lomeného výrazu odmocňujeme nezáporné číslo, tedy $s - 2 \geq 0$, tj. $s \geq 2$. Podmínky: $s \geq 2$

a) $\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {x^2 \, - \, 4} {x \, + \, 1}} {\Large \; \; \frac {x \, - \, 2} {3x \, - \, 3} \; \;}$

b) $\displaystyle \LARGE \frac {\normalsize 5 - a} {\Large \; \; \frac {2a \, - \, 8} {a^4 \, + \, 7} \; \; }$

Řešení

a) $\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {x^2 \, - \, 4} {x \, + \, 1}} {\Large \; \; \frac {x \, - \, 2} {3x \, - \, 3} \; \;} \normalsize = \frac {x^2 - 4} {x + 1} \div \frac {x - 2} {3x - 3}$

• Jmenovatel dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule, tedy $x + 1 \neq 0$, tj. $x \neq -\,1$.
• Ani jmenovatel dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule, tedy $3x - 3 \neq 0$,
  tj. $3x \neq 3$, proto $x \neq 1$.
• Zároveň dělitel složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule (nelze dělit nulou), tj. $\displaystyle \frac {x - 2} {3x - 3} \neq 0$. Připomeňme si, že pokud zlomek nesmí být roven nule, pak musíme zaručit, že je jeho čitatel nenulový, tedy $x - 2 \neq 0$, tj. $x \neq 2$.
• Podmínky: $x \in \mathbb R - \{-\,1; 1; 2\}$

b) Také tento výraz je složený lomený výraz, můžeme si ho totiž přepsat do tvaru:
$\displaystyle \; \; \LARGE \frac {\Large \frac {5 \, - \, a} {1}} {\Large \; \; \frac {2a \, - \, 8} {a^4 \, + \, 7} \; \; } \normalsize = \frac {5 - a} {1} \div \frac {2a - 8} {a^4 + 7}$

• Jmenovatel dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule - tato podmínka je splněna vždy.
• Jmenovatel dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule, tedy $a^4 + 7 \neq 0$, tj. $\left(a^2\right)^2 \neq -\,7$.
  Druhá mocnina libovolného čísla je nezáporné číslo, tato podmínka je tedy splněna vždy.
• Zároveň dělitel složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule, tedy $\displaystyle \frac {2a - 8} {a^4 + 7} \neq 0$, tj. $2a - 8 \neq 0$,
  proto $2a \neq 8$, tj. $a \neq 4$.
• Podmínky: $a \in \mathbb R - \{4\}$

a) $\displaystyle \frac {6a^2b} {3ab^2}$

b) $\displaystyle \frac {(c + 2)(d^2 - 4)} {(d - 5)(c + 2)}$

c) $\displaystyle \frac {(c + 2)d^2 - 4} {(d - 5)(c + 2)}$

d) $\displaystyle \frac {a^2 - 4} {(a - 2)(a^2 + 4)}$

Řešení

Původní lomený výraz jsme krátili výrazem $\displaystyle 3ab$.
Výraz má smysl pro $a \in \mathbb R - \{0\}$, $b \in \mathbb R - \{0\}$.


Původní lomený výraz jsme krátili výrazem $c + 2$.
Výraz má smysl pro $c \in \mathbb R - \{-2\}$, $d \in \mathbb R - \{5\}$.

c) Lomený výraz nelze krátit. Čitatel není ve tvaru součinu, ani ho nelze na vhodný součin upravit.
Výraz má smysl pro $c \in \mathbb R - \{-2\}$, $d \in \mathbb R - \{5\}$.

d) Lomený výraz nelze přímo krátit. Čitatele lomeného výrazu nejprve upravíme na součin dle vzorce pro rozdíl druhých mocnin, až poté krátíme (výrazem $a - 2$).

Výraz má smysl pro $a \in \mathbb R - \{2\}$ (neboť výraz $a^2 + 4$ je vždy kladný).

a) $4u\left(u^2 - v^2\right)$ a $\; u^2(8u + 8v)$

b) $\displaystyle \frac {1} {18}u^3$ a $\; \displaystyle \frac {1} {9}u^2$

Řešení

a) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
$\; 4u\left(u^2 - v^2\right) = 2^2 \cdot u \cdot (u + v) \cdot (u - v)$
$\; u^2(8u + 8v) = u^2 \cdot 2^3 \cdot (u + v)$
V obou rozkladech se vyskytuje výraz $u$, $u + v$ a $2^2$, (jelikož platí, že $2^3 = 2 \cdot 2^2$). Jako společného dělitele mnohočlenů označíme dle dohody jejich součin, tj. výraz $2^2 \cdot u \cdot (u + v) = 4u(u + v)$.

b) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
$\; \displaystyle \frac {1} {18}u^3 = \left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot \frac {1} {2} \cdot u^3$

$\; \displaystyle \frac {1} {9}u^2 = \left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot u^2$
Společným dělitelem mnohočlenů je dle dohody výraz $\displaystyle \left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot u^2 = \frac {1} {9}u^2$.