4.1 Zavedení lomených výrazů a jejich krácení
V předcházející kapitole jsme definovali pojem výraz a určovali jsme, za jakých podmínek má smysl. Podrobněji jsme se zabývali jedním typem výrazu, a to mnohočlenem (polynomem). Tyto znalosti nyní opět využijeme. Podíváme se na další typ výrazu, kterým je lomený výraz. Nebude-li uvedeno jinak, předpokládáme, že všechny proměnné jsou z oboru reálných čísel.
Definice
Pojmem lomený výraz označujeme výraz ve tvaru zlomku.
\(V_1\) a \(V_2\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\).
Poznámka
Aby měl lomený výraz smysl, musí být jeho jmenovatel nenulový.Z definice vyplývá, že lomený výraz může mít tvar podílu mnohočlenů, jako například
\(\displaystyle \frac {x^5 - 3x^3 + 2} {8x^4 + 11x^2 - 2x}\) či \(\displaystyle \frac {5} {3a^2 - 7}\) ,
nebo se jedná o podíl dvou výrazů, z nichž alespoň jeden není mnohočlenem, například
\(\displaystyle \frac {4x^2 - 1 + x^{-3}} {x^{-2} + 6}\).
S lomenými výrazy pracujeme obdobně jako se zlomky.
Příklad 4.1
| a) \(\displaystyle \frac {x + 5} {x + 3}\) | b) \(\displaystyle \frac {4} {5z - 2}\) | c) \(\displaystyle \frac {\sqrt{s - 2}} {s^2 + 4}\) |
Řešení
a) Lomený výraz má smysl, pokud je jmenovatel různý od nuly (v opačném případě bychom dělili nulou,
což je nepřípustná operace), tedy \(x + 3 \neq 0\), tj. \(x \neq -3\).
Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{-\,3\}\)
b) Lomený výraz má smysl, pokud \(5z - 2 \neq 0\), tedy \(\displaystyle z \neq \frac {2} {5}\).
Podmínky: \(\displaystyle z \in \mathbb R - \left\{\frac {2} {5} \right\}\)
c) Lomený výraz má smysl, pokud \(s^2 + 4 \neq 0\), tj. \(s^2 \neq - \, 4\).
Tato podmínka je splněna vždy (druhá mocnina libovolného čísla
je nezáporné číslo). Zároveň musíme zaručit, že v
čitateli
lomeného výrazu odmocňujeme nezáporné číslo, tedy \(s - 2 \geq 0\), tj. \(s \geq 2\).
Podmínky: \(s \geq 2\)
Určení podmínek, za kterých má lomený výraz smysl, je nezbytnou součástí řešení každého příkladu.
Definice
Složený lomený výraz je lomený výraz, který má v čitateli i jmenovateli také lomený výraz.
\(V_1\), \(V_2\), \(V_3\), \(V_4\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\), \(V_4 \neq 0\).
Složený lomený výraz lze jednoduše přepsat na dva lomené výrazy, a to dělence a dělitele, pokud nahradíme hlavní zlomkovou čáru znakem pro dělení "\(\div\)". Terminologie přitom odpovídá učivu o zlomcích.
\(V_1\), \(V_2\), \(V_3\), \(V_4\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\), \(V_4 \neq 0\).
Poznámka
Hlavní zlomkovou čáru poznáme podle toho, že se nachází ve stejné úrovni jako znak pro rovnost "\(=\)" či znaménko před složeným lomeným výrazem "\(\pm\)", příp. dle její délky (neboť je nejdelší).
Příklad 4.2
| a) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {x^2 \, - \, 4} {x \, + \, 1}} {\Large \; \; \frac {x \, - \, 2} {3x \, - \, 3} \; \;}\) | b) \(\displaystyle \LARGE \frac {\normalsize 5 - a} {\Large \; \; \frac {2a \, - \, 8} {a^4 \, + \, 7} \; \; }\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {x^2 \, - \, 4} {x \, + \, 1}} {\Large \; \; \frac {x \, - \, 2} {3x \, - \, 3} \; \;} \normalsize = \frac {x^2 - 4} {x + 1} \div \frac {x - 2} {3x - 3}\)
- Jmenovatel dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule, tedy \(x + 1 \neq 0\), tj. \(x \neq -\,1\).
- Ani jmenovatel dělitele složeného lomeného výrazu
nesmí být roven nule, tedy \(3x - 3 \neq 0\),
tj. \(3x \neq 3\), proto \(x \neq 1\). - Zároveň dělitel složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule (nelze dělit nulou), tj. \(\displaystyle \frac {x - 2} {3x - 3} \neq 0\). Připomeňme si, že pokud zlomek nesmí být roven nule, pak musíme zaručit, že je jeho čitatel nenulový, tedy \(x - 2 \neq 0\), tj. \(x \neq 2\).
- Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{-\,1; 1; 2\}\)
b) Také tento výraz je složený lomený výraz, můžeme si ho totiž přepsat do tvaru:
\(\displaystyle \; \; \LARGE \frac {\Large \frac {5 \, - \, a} {1}} {\Large \; \; \frac {2a \, - \, 8} {a^4 \, + \, 7} \; \; } \normalsize = \frac {5 - a} {1} \div \frac {2a - 8} {a^4 + 7}\)
- Jmenovatel dělence složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule - tato podmínka je splněna vždy.
- Jmenovatel dělitele složeného lomeného výrazu nesmí být
roven nule, tedy \(a^4 + 7 \neq 0\), tj. \(\left(a^2\right)^2 \neq -\,7\).
Druhá mocnina libovolného čísla je nezáporné číslo, tato podmínka je tedy splněna vždy. - Zároveň dělitel složeného lomeného výrazu nesmí být roven nule,
tedy \(\displaystyle \frac {2a - 8} {a^4 + 7} \neq 0\),
tj. \(2a - 8 \neq 0\),
proto \(2a \neq 8\), tj. \(a \neq 4\). - Podmínky: \(a \in \mathbb R - \{4\}\)
Krácení lomených výrazů
\(\displaystyle \frac {\; V_1 \cdot V_3 \;} {\; V_2 \cdot V_3 \;} = \Large \frac {\; \; \frac {V_1 \cdot V_3} {V_3} \; \;} {\frac {V_2 \cdot V_3} {V_3}} \normalsize = \frac {\; V_1 \;} {\; V_2 \;}\)
\(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\).Krácení často provádíme při zjednodušování lomených výrazů. Aby bylo možné lomený výraz krátit, musí být jeho čitatel i jmenovatel zapsán ve tvaru součinu! Pokud tomu tak není, snažíme se lomený výraz nejprve vhodně upravit (což ovšem ne vždy lze). Využíváme k tomu zejména pravidla pro počítání s mocninami a rozklad mnohočlenů na součin pomocí vzorců či vytknutím společného mnohočlenu.
Poznámka
Krácení obvykle zjednodušeně zapisujeme následujícím způsobem:
\(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\).
Příklad 4.3
| a) \(\displaystyle \frac {6a^2b} {3ab^2}\) | b) \(\displaystyle \frac {(c + 2)(d^2 - 4)} {(d - 5)(c + 2)}\) | c) \(\displaystyle \frac {(c + 2)d^2 - 4} {(d - 5)(c + 2)}\) | d) \(\displaystyle \frac {a^2 - 4} {(a - 2)(a^2 + 4)}\) |
Řešení
Původní lomený výraz jsme krátili výrazem \(\displaystyle 3ab\).
Výraz má smysl pro \(a \in \mathbb R - \{0\}\), \(b \in \mathbb R - \{0\}\).
Původní lomený výraz jsme krátili výrazem \(c + 2\).
Výraz má smysl pro \(c \in \mathbb R - \{-2\}\), \(d \in \mathbb R - \{5\}\).
c) Lomený výraz nelze krátit. Čitatel není ve tvaru součinu, ani ho nelze na vhodný součin upravit.
Výraz má smysl pro \(c \in \mathbb R - \{-2\}\), \(d \in \mathbb R - \{5\}\).
d) Lomený výraz nelze přímo krátit. Čitatele lomeného výrazu nejprve upravíme na součin dle
vzorce pro rozdíl druhých mocnin,
až poté krátíme (výrazem \(a - 2\)).
Výraz má smysl pro \(a \in \mathbb R - \{2\}\) (neboť výraz \(a^2 + 4\) je vždy kladný).
Při krácení lomeného výrazu vlastně hledáme výraz, kterým lze čitatele i jmenovatele lomeného výrazu beze zbytku
dělit. V případě, že ve jmenovateli a čitateli lomeného výrazu jsou mnohočleny, určujeme společného
dělitele těchto mnohočlenů.
Mnohočleny mohou mít i více společných dělitelů.
Dohodneme se proto, že v dalším textu budeme společným dělitelem daných mnohočlenů označovat součin všech výrazů,
které jsou činiteli v každém rozkladu daných mnohočlenů na součin.
Postup je zřejmý z následujícího příkladu.
Příklad 4.4
| a) \(4u\left(u^2 - v^2\right)\) a \(\; u^2(8u + 8v)\) | b) \(\displaystyle \frac {1} {18}u^3\) a \(\; \displaystyle \frac {1} {9}u^2\) |
Řešení
a) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(\; 4u\left(u^2 - v^2\right) = 2^2 \cdot u \cdot (u + v) \cdot (u - v)\)
\(\; u^2(8u + 8v) = u^2 \cdot 2^3 \cdot (u + v)\)
V obou rozkladech se vyskytuje výraz \(u\), \(u + v\) a \(2^2\),
(jelikož platí, že \(2^3 = 2 \cdot 2^2\)).
Jako společného dělitele mnohočlenů označíme dle dohody jejich součin, tj. výraz \(2^2 \cdot u \cdot (u + v) =
4u(u + v)\).
b) Oba mnohočleny rozložíme na součin.
\(\; \displaystyle \frac {1} {18}u^3 =
\left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot \frac {1} {2} \cdot u^3\)
\(\; \displaystyle \frac {1} {9}u^2 = \left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot u^2\)
Společným dělitelem mnohočlenů je dle dohody výraz \(\displaystyle \left(\frac {1} {3}\right)^2 \cdot u^2 =
\frac {1} {9}u^2\).
Cvičení k této části.
