1.1 Číselné obory
Cílem této části je zopakovat a stručně shrnout základní pojmy a vztahy týkající se číselných oborů, které již známe z předcházejích hodin matematiky.
Připomeňme si, jaké druhy čísel známe:
| Přirozená čísla | \(1, \,2, \,3, \dots\) |
| Celá čísla | \(\dots, \,-\,2, \,-\,1, \,0, \,1, \,2, \dots\) |
| Racionální čísla \(\; \; \; \; \;\) | např. \(-\,7; \,- \,\large \frac {2}{3}; \normalsize \, 0; \,1,5; \,6\frac{1}{7}\) |
| Reálná čísla | např. \(-\,12; \,0; \,\sqrt{5\,}; \,\pi; \,4\pi\) |
Sčítání a násobení čísel uvedených druhů (tj. základní početní operace) dobře z hodin matematiky známe. Pro zopakování uveďme, že množinu všech čísel určitého druhu, ve které jsou definovány bez omezení operace sčítání a násobení, označujeme jako číselný obor.
Číselné obory a jejich označení:
| \(\mathbb N\) | obor přirozených čísel; množina všech přirozených čísel |
| \(\mathbb Z\)\(\; \; \;\) | obor celých čísel; množina všech celých čísel |
| \(\mathbb Q\) | obor racionálních čísel; množina všech racionálních čísel |
| \(\mathbb R\) | obor reálných čísel; množina všech reálných čísel |
Vztah mezi uvedenými číselnými obory ilustruje schéma:
Připomeňme si také vlastnosti početních operací, které platí v každém z uvedených číselných oborů.
| asociativnost sčítání | asociativnost násobení |
| \(a + (b + c) = (a + b) + c\) | \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\) |
| komutativnost sčítání | komutativnost násobení |
| \(a + b = b + a\) | \(a \cdot b = b \cdot a\) |
| existence neutrálního prvku vzhledem
ke sčítání |
existence neutrálního prvku vzhledem
k násobení |
| \(0 + a = a\) (s výjimkou oboru přirozených čísel) | \(1 \cdot a = a\) |
| distributivnost násobení vzhledem ke sčítání | |
| \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) |
Neutrální prvek vzhledem k početní operaci je tedy takové číslo, které neovlivní výsledek této operace.
Poznámka
V oboru přirozených čísel existuje neutrální prvek jen vzhledem k násobení. Existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání v něm neplatí, protože do oboru přirozených čísel nezahrnujeme číslo 0.Několik připomínek k číselným oborům:
1. Číselný obor je uzavřený vzhledem ke sčítání a násobení - to znamená že součet, resp. součin, libovolných
2. Ke každému celému číslu \(a\) existuje takové celé číslo \((-\,a)\), pro které platí \(a + (-\,a) = 0\).
3. Racionální čísla lze vyjádřit ve tvaru zlomku
\(\displaystyle \frac {\; a \;} {b}\), kde \(a \in \mathbb Z\), \(b \in \mathbb N\)
4. Reálná čísla, která mají nekonečný neperiodický desetinný rozvoj, označujeme jako iracionální (neboť nepatří
5. Každé reálné číslo můžeme znázornit jako bod na číselné ose. Zároveň každý bod na číselné ose
6. Zápis \(a \in \mathbb N\) vyjadřuje, že číslo \(a\) je prvkem oboru přirozených čísel. Čteme "\(a\) náleží \(\mathbb N\)".
Příklad 1.1
| Číslo | Číselný obor | \(\; \mathbb N \;\) | \(\; \mathbb Z \;\) | \(\; \mathbb Q \;\) | \(\; \mathbb R \;\) |
| \(- \, 5\) | ||||
| \(12,35\) | ||||
| \(0\) | ||||
| \(2\pi\) | ||||
| \(- \, 7,\overline{45}\) | ||||
| \(1\,235\) |
Řešení
| Číslo | Číselný obor | \(\; \mathbb N \;\) | \(\; \mathbb Z \;\) | \(\; \mathbb Q \;\) | \(\; \mathbb R \;\) |
| \(- \, 5\) | ne | ano | ano | ano |
| \(12,35\) | ne | ne | ano | ano |
| \(0\) | ne | ano | ano | ano |
| \(2\pi\) | ne | ne | ne | ano |
| \(- \, 7,\overline{45}\) | ne | ne | ano | ano |
| \(1\,235\) | ano | ano | ano | ano |
Příklad 1.2
| a) \(5\) | b) \(- \, 232\) | c) \(0\) |
Řešení
a) Opačným číslem k číslu \(5\) je číslo \(- \, 5\).
b) Opačným číslem k číslu \(- \, 232\) je číslo \(232\).
c) Opačným číslem k číslu \(0\) je číslo \(0\).
Příklad 1.3
a) \(0 \cdot 1 = 1\)
b) \(0 + \pi = \pi\)
c) \(\large \frac {\,2\,} {3} + \left(\frac {\,1\,} {3} \cdot 5\right) = \left(\frac {\,2\,} {3} + \frac {\,1\,} {3}\right) \cdot 5\)
d) \(\large \frac {\,1\,} {2} \cdot \left(\frac {\,2\,} {5} + \frac {\,3\,} {2}\right) = \frac {\,1\,}{2} \cdot \frac {\,2\,}{5} + \frac {\,1\,}{2} \cdot \frac {\,3\,} {2}\)
Řešení
a) ne, protože platí \(0 \cdot 1 = 0\)
b) ano (viz existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání)
c) ne, protože platí \(\large \frac {\,2\,} {3} + \left(\frac {\,1\,} {3} \cdot 5\right) =
\frac {\,2\,} {3} + \frac {\,5\,} {3}\)
d) ano (viz distributivnost násobení vzhledem ke sčítání)
