4.2 Součin, podíl a mocniny lomených výrazů
Dříve, než se začneme věnovat násobení, dělení a umocňování lomených výrazů, je potřeba zdůraznit, že při všech výpočtech se snažíme lomené výrazy zjednodušit (např. prostřednictvím krácení). Kromě toho nezapomínáme na skutečnost, že stanovení podmínek, za kterých má lomený výraz smysl, je vždy nezbytnou součástí řešení!
Násobení lomených výrazů
lze součin lomených výrazů zapsat jako
\(\displaystyle \frac {V_1} {V_2} \cdot \frac {V_3} {V_4} = \frac {V_1 \cdot V_3} {V_2 \cdot V_4}\) .
V případě následujícího součinu dvou lomených výrazů lze také krátit dle schématu (za předpokladu, že \(V_1 \neq 0\), \(V_3 \neq 0\), \(V_4 \neq 0\)):
Příklad 4.5
| a) \(\displaystyle \frac {3p + 6} {2q^3} \cdot \frac {4q^2} {p^2 + 2p}\) | b)\(\displaystyle \frac {3p + q} {5p} \cdot \frac {4q^2} {3p^2 + p}\) | c) \(\displaystyle \frac {p^2 - 2pq + q^2} {p^2 - q^2} \cdot \frac {p^2 + q^2} {2} \cdot \frac {4} {2p - 2q}\) |
Řešení
a) Vhodný postup (výrazy co nejdříve krátíme):
\(\displaystyle \frac {3p + 6} {2q^3} \cdot \frac {4q^2} {p^2 + 2p} =
\frac {(3p + 6) \cdot 4q^2} {2q^3 \cdot (p^2 + 2p)} = \frac {3(p + 2) \cdot 4q^2} {2q^3p(p + 2)} =
\frac {3 \cdot 2} {q \cdot p} = \frac {6} {pq}\)
Výpočet má smysl za předpokladu, že \(p \in \mathbb R - \{-\,2; 0\}\),
\(q \in \mathbb R - \{0\}\).
Nevhodný postup (nejprve roznásobíme, poté krátíme) - je zdlouhavý, proto se zvyšuje riziko chyby:
\(\displaystyle \frac {3p + 6} {2q^3} \cdot \frac {4q^2} {p^2 + 2p} =
\frac {(3p + 6) \cdot 4q^2} {2q^3 \cdot (p^2 + 2p)} = \frac {12pq^2 + 24q^2} {2p^2q^3 + 4pq^3} =
\frac {12q^2(p + 2)} {2pq^3(p + 2)} = \frac {2 \cdot 6 \cdot q^2 \cdot (p + 2)} {2 \cdot p \cdot q^2 \cdot q \cdot (p + 2)} =
\frac {6} {pq}\)
Výpočet má smysl za předpokladu, že \(p \in \mathbb R - \{-2; 0\}\),
\(q \in \mathbb R - \{0\}\).
b) \(\displaystyle \frac {3p + q} {5p} \cdot \frac {4q^2} {3p^2 + p} =
\frac {(3p + q) \cdot 4q^2} {5p \cdot p(3p + 1)} = \frac {12pq^2 + 4q^3} {5p^2(3p + 1)} =
\frac {12pq^2 + 4q^3} {15p^3 + 5p^2}\)
V tomto případě krátit nelze.
Výpočet má smysl za předpokladu, že
\(\displaystyle p \in \mathbb R - \left\{- \, \frac {1} {3}; 0\right\}\).
c) \(\displaystyle \frac {p^2 - 2pq + q^2} {p^2 - q^2} \cdot \frac {p^2 + q^2} {2} \cdot \frac {4} {2p - 2q} =
\frac {(p - q)^2} {(p - q)(p + q)} \cdot \frac {p^2 + q^2} {2} \cdot \frac {4} {2(p - q)} =
\frac {p^2 + q^2} {p + q}\)
V tomto postupu jsme krátili dle výše uvedeného schématu.
Výpočet má smysl za předpokladu, že \(p \in \mathbb R\), \(q \in \mathbb R\) a zároveň
\(p \neq \pm q\).
Dělení lomených výrazů
Dělení lomených výrazů převedeme na jejich násobení, které již umíme. Postupujeme tedy obdobně jako při počítání se zlomky, např.
\(\displaystyle 4 \div \frac {2} {5} = 4 \cdot \frac {5} {2}\)
(číslo 4 násobíme převrácenou hodnotou čísla \(\displaystyle \frac {2} {5}\)).
Obecně platí následující:
\(\displaystyle A \div B = A \cdot \frac {1} {B}\), pro \(B \neq 0\)
\(\displaystyle \frac {V_1} {V_2} \div \frac {V_3} {V_4} = \frac {V_1} {V_2} \cdot \frac {V_4} {V_3}\) .
Pozor! Při určování podmínek, za kterých má lomený výraz smysl, musíme také zaručit, že je lomený výraz \(\displaystyle \frac {V_3} {V_4}\) nenulový, tedy že \(V_3 \neq 0\). Někdy je výhodnější určovat podmínky až po úpravě výrazů.
Poznámka
Dělení lomených výrazů je třeba převést na jejich násobení, až poté je vhodné krátit!Pozorně prostuduj:
\(\displaystyle \frac {V_1} {V_2} \div \frac {V_2} {V_1} \neq 1\)
\(\displaystyle \frac {V_1} {V_2} \div \frac {V_2} {V_1} = \frac {V_1} {V_2} \cdot \frac {V_1} {V_2} =
\frac {V_1 \cdot V_1} {V_2 \cdot V_2}\)
(\(V_1\), \(V_2\) jsou libovolné výrazy, přičemž pro všechny hodnoty proměnných
je \(V_1 \neq 0\), \(V_2 \neq 0\).)
Příklad 4.6
| a) \(\displaystyle \frac {12u^3v^2} {14r^2s^2} \div \frac {18u^2v^2} {21r^2s}\) | b) \(\displaystyle \frac {px^2 - py^2} {x^2 + 2xy + y^2} \div \frac {px^2 - 2pxy + py^2} {x + y}\) |
| c) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {15u^2 \, + \, 15v^2} {6u^2 \, - \, 12uv \, + \, 6v^2}} {\; \; \Large \frac {20u^2 \, + \, 40uv \, + \, 20v^2} {8u^2 \, - \, 8v^2}\; \;}\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \frac {12u^3v^2} {14r^2s^2} \div \frac {18u^2v^2} {21r^2s} =
\frac {12u^3v^2} {14r^2s^2} \cdot \frac {21r^2s} {18u^2v^2} = \frac {u} {s}\)
Výpočet má smysl za podmínek, že \(r \in \mathbb R - \{0\}\), \(s \in \mathbb R - \{0\}\),
\(u \in \mathbb R - \{0\}\), \(v \in \mathbb R - \{0\}\).
b) \(\displaystyle \frac {px^2 - py^2} {x^2 + 2xy + y^2} \div \frac {px^2 - 2pxy + py^2} {x + y} =
\frac {px^2 - py^2} {x^2 + 2xy + y^2} \cdot \frac {x + y} {px^2 - 2pxy + py^2} = \)
\(\displaystyle = \frac {p(x^2 - y^2)} {(x + y)^2} \cdot \frac {x + y} {p(x^2 - 2xy + y^2)} =
\frac {(x - y)(x + y)} {x + y} \cdot \frac {1} {(x - y)^2} =
\frac {1} {x - y}\)
Výpočet má smysl za podmínek, že \(p \in \mathbb R - \{0\}\),
\(x \in \mathbb R\), \(y \in \mathbb R\), přičemž \(x \neq \pm y\).
c) \(\displaystyle \LARGE \frac {\Large \frac {15u^2 \, + \, 15v^2} {6u^2 \, - \, 12uv \, + \, 6v^2}}
{\; \; \Large \frac {20u^2 \, + \, 40uv \, + \, 20v^2} {8u^2 \, - \, 8v^2}\; \;} \normalsize =
\frac {15u^2 + 15v^2} {6u^2 - 12uv + 6v^2} \div \frac {20u^2 + 40uv + 20v^2} {8u^2 - 8v^2} = \)
\(\displaystyle = \frac {15u^2 + 15v^2} {6u^2 - 12uv + 6v^2} \cdot
\frac {8u^2 - 8v^2} {20u^2 + 40uv + 20v^2} =
\frac {15(u^2 + v^2)} {6(u - v)^2} \cdot \frac {8(u - v)(u + v)} {20(u + v)^2} =
\frac {3(u^2 + v^2)} {3(u - v)} \cdot \frac {4} {4(u + v)} =\)
\(\displaystyle = \frac {u^2 + v^2} {u^2 - v^2}\)
Výpočet má smysl za podmínek, že \(u \in \mathbb R\), \(v \in \mathbb R\),
přičemž \(u \neq \pm v\).
Umocňování lomených výrazů
Díky znalosti definice mocniny reálného čísla snadno určíme i mocninu lomeného výrazu.
Definice
Pro libovolné výrazy \(V_1\), \(V_2\) , přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_2 \neq 0\), a pro každé přirozené číslo \(n\) je:\(\displaystyle \left(\frac {V_1} {V_2}\right)^n = \underbrace{\frac{V_1} {V_2} \cdot \frac {V_1} {V_2} \cdot \dots \cdot \frac {V_1} {V_2}}_{n \; činitelů} \)
\(\displaystyle \left(\frac {V_1} {V_2}\right)^n = \frac {{V_1}^n} {{V_2}^n}\)
Definice
Pro libovolné výrazy \(V_1\), \(V_2\), přičemž pro všechny hodnoty proměnných je \(V_1 \neq 0\), \(V_2 \neq 0\), a pro každé celé číslo \(m\) je:\(\displaystyle \left(\frac {V_1} {V_2}\right)^{- \, m} = \frac {{V_2}^m} {{V_1}^m}\)
Příklad 4.7
| a) \(\displaystyle \left[\frac {(z + 1)^2} {2}\right]^5 \cdot \frac {64} {(z + 1)^6}\) | b) \(\displaystyle \left(\frac {z + 2} {z - 2}\right)^{-2} \cdot (z^2 - 4)\) |
Řešení
a) \(\displaystyle \left[\frac {(z + 1)^2} {2}\right]^5 \cdot \frac {64} {(z + 1)^6} =
\frac {\left[(z + 1)^2\right]^5} {2^5} \cdot \frac {64} {(z + 1)^6} =
\frac {(z + 1)^{10}} {2^5} \cdot \frac {2^6} {(z + 1)^6} =
2(z + 1)^4\)
Výpočet má smysl za předpokladu, že \(z \in \mathbb R - \{-\,1\}\).
b) \(\displaystyle \left(\frac {z + 2} {z - 2}\right)^{-2} \cdot (z^2 - 4) =
\frac {(z - 2)^2} {(z + 2)^2} \cdot \frac {z^2 - 4} {1} =
\frac {(z - 2)(z - 2)} {(z + 2)(z + 2)} \cdot \frac {(z + 2)(z - 2)} {1} = \frac {(z - 2)^3} {z + 2}\)
Výpočet má smysl za předpokladu, že \(z \in \mathbb R - \{\pm 2\}\).
Cvičení k této části.
