Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js
\begin{align} \end{align}


1.5 Dělitelnost v oboru přirozených čísel

Uvažujme čísla a, b \in \mathbb N. Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě tehdy, když existuje přirozené číslo n tak, že a = n \cdot b.
násobek, dělitel

Definice

Množina, která obsahuje všechny dělitele čísla a, se nazývá množina všech dělitelů a značí se D(a).

Příklad 1.11

Najdi množinu všech dělitelů čísla:
a) 16b) 24 c) 17

Řešení

a) 16 = 1 \cdot 16 16 = 2 \cdot 8 16 = 4 \cdot 4
Množina všech dělitelů čísla 16: D(16) = \{1; 2; 4; 8; 16 \}

b) 24 = 1 \cdot 24 24 = 2 \cdot 12 24 = 3 \cdot 8 24 = 4 \cdot 6
Množina všech dělitelů čísla 24: D(24) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 \}

c) 17 = 1 \cdot 17
Množina všech dělitelů čísla 17: D(17) = \{1; 17 \}

Z příkladu je patrné, že každé číslo je dělitelné číslem 1 a samo sebou. Některá čísla mají dokonce více dělitelů.

Definice

Přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele (číslo 1 a samo sebe), se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo, které má alespoň tři různé dělitele, se nazývá složené číslo.

Poznámka

Číslo 1 nepovažujeme za prvočíslo ani za složené číslo.

Každé složené číslo lze vyjádřit jako součin prvočísel. Takový zápis označujeme jako prvočíselný rozklad složeného čísla. Prvočíselný rozklad určuje přirozené číslo jednoznačně.

Zobrazit

Příklad 1.12

Najdi prvočíselný rozklad čísla:
a) 40b) 126

Řešení

prvočíselný rozklad
Prvočíselný rozklad: 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5.

prvočíselný rozklad
Prvočíselný rozklad: 126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7.


Znalosti o množině všech dělitelů čísla a prvočíselném rozkladu využijeme při hledání společného dělitele dvou či více čísel (tj. dělitele, který dělí všechna zvolená čísla).

Definice

Čísla, která mají společného dělitele většího než jedna, nazýváme soudělná.
Čísla, která mají jediného společného dělitele - číslo 1, nazýváme nesoudělná.

Například čísla 12 a 25 jsou nesoudělná: D(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}, D(25) = \{1; 5; 25\}.
Naopak čísla 12 a 18 jsou soudělná: D(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}, D(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}. Tato dvojice čísel má dokonce několik společným dělitelů větších než jedna. Největším z nich je číslo 6.

Největší společný dělitel čísel a, b, který značíme NSD(a,b), je mnohdy užitečný. Například pokud krátíme zlomek největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele, dostaneme zlomek v základním tvaru.
NSD

Největšího společného dělitele určíme pomocí množiny všech dělitelů nebo prostřednictvím prvočíselného rozkladu (postup je uveden v následujícím příkladu).

Příklad 1.13

Urči největšího společného dělitele daných čísel pomocí prvočíselného rozkladu:
a) 72 a 54 b) 300, 2 \, 100 a 420

Řešení

a) Nejprve určíme prvočíselný rozklad čísel:
\; \; \; \; 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
\; \; \; \; 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3
Největší společný dělitel čísel je součin všech prvočísel, která se vyskytují v každém prvočíselném rozkladu, přičemž v tomto součinu uvedeme dané prvočíslo tolikrát, kolikrát se nejméně vyskytuje v každém rozkladu.
NSD(72,54) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

b) Nejprve určíme prvočíselný rozklad čísel:
\; \; \; \; 300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5
\; \; \; \; 2 \, 100 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7
\; \; \; \; 420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7
NSD(300, 2 \, 100, 420) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60


Při převodu zlomků na společného jmenovatele je výhodné využít nejmenší společný násobek čísel a, b, který značíme nsn(a,b) (terminologie je obdobná jako v předchozím výkladu). Porovnej:

\displaystyle \frac {1} {12} + \frac {1} {18} = \frac {3 + 2} {36} = \frac {5} {36}

\displaystyle \frac {1} {12} + \frac {1} {18} = \frac {18 + 12} {216} = \frac {30} {216} = \frac {5} {36}

Nejmenší společný násobek čísel můžeme najít tak, že si vypíšeme několik prvních násobků každého čísla
a mezi nimi vybereme nejmenší společný (množinu všech násobků označíme N(a)):
\; \; N(12) = \{12; 24; 36; 48; 60; \dots\}
\; \; N(18) = \{18; 36; 54; 72; 90; \dots\}
Vidíme, že nejmenším společným násobkem čísel 12 a 18 je číslo 36.
Zaroveň je třeba poznamenat, že množina všech násobků je nekonečná, nelze tedy zapsat výčtem všech prvků (což vyjadřujeme symbolem "\dots").

Obvykle je výhodnější pro určení nejmenšího společného násobku použít prvočíselný rozklad (postup je uveden
v následujícím příkladu).

Příklad 1.14

Urči nejmenší společný násobek daných čísel pomocí prvočíselného rozkladu:
a) 45 a 150 b) 28, 49 a 270

Řešení

a) Nejprve určíme prvočíselný rozklad čísel:
\; \; \; \; 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5
\; \; \; \; 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5
Nejmenší společný násobek je součin prvočísel, která se vyskytují v alespoň jednom prvočíselném rozkladu, přičemž v tomto součinu uvedeme dané prvočíslo tolikrát, kolikrát se nejvíce vyskytuje v jednom z rozkladů.
nsn(45, 150) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 450

b) Nejprve určíme prvočíselný rozklad čísel:
\; \; \; \; 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7
\; \; \; \; 49 = 7 \cdot 7
\; \; \; \; 270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5
nsn(28, 49, 270) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 26 \, 460