David Stanovský    //   

ALGEBRA (2024/25)

Program:

  1. Elementární teorie čísel
  2. Základní algebraické objekty - základní algebraické struktury (okruhy, obory, tělesa), elementární teorie polynomů, číselné obory
  3. Abstraktní teorie dělitelnosti - zobecněná základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory, obory hlavních ideálů
  4. Obory polynomů - ireducibilní rozklady polynomů, modulární aritmetika a konečná tělesa, symetrické polynomy a základní věta algebry
  5. Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
  6. Tělesová rozšíření a Galoisova teorie - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem, Galoisovy grupy a (ne)existence vzorců pro řešení polynomiálních rovnic

Základní literatura: skripta Algebra 22

Sbírky úloh:

Hodnocení zápočtových úloh:

K1 stream (je-li něco v nepořádku, volejte spolužákovi, volejte na přednášejícího)
záznamy některých přednášek na univerzitním úložišti v rámci služby O365; nejprve budete požádáni zadat svůj univerzitní login tvaru 12345678@cuni.cz, poté se přihlásíte do O365 stejným způsobem jako do SIS)
záznamy některých přednášek na karlínském úložišti; přihlašovací údaje jste dostali emailem

Program (přesný minulý, předběžný budoucí - počítejte s drobnými posuny):

téma přednášky skripta slajdy téma cvičení zadání cvičení kvíz
17.2.+21.2. Elementární teorie čísel: NSD, základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. 1.1-1.5 kap. 1 Eukleidův algoritmus, kongruence. zadání, řešení Q1.1 výsledky
24.2.+28.2. Základní algebraické struktury: okruhy, obory a tělesa - příklady, základní vlastnosti, izomorfismus.
Obory polynomů: definice, dělení se zbytkem, kořeny. 		2.1-2.4
3.1-3.4 		kap. 2, kap. 3 Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. zadání, řešení Q1.2 výsledky
3.3.+7.3. Číselné obory: okruhová a tělesová rozšíření, norma v kvadratických rozšířeních.
Základní pojmy teorie dělitelnosti: asociované prvky, NSD, ireducibilní rozklady.		 3.6, 4.1-4.2
5.1-5.4 		kap. 4, kap. 5+6 Aritmetika polynomů: dělení se zbytkem, NSD, kořeny, ireducibilní rozklady. zadání, řešení Q1.3 výsledky
10.3.+14.3. Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky.
Obecný Eukleidův algoritmus, obory hlavních ideálů.		 6.1-6.2
7.1-7.2 		kap. 5+6, kap. 7 Číselné obory: dělení se zbytkem, NSD, ireducibilní rozklady. zadání, řešení Q1.4 výsledky
17.3.+21.3. Shrnutí a využití: Hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti.
Podílová tělesa. Racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium. Gaussova věta. Čínská věta o zbytcích pro polynomy.
Využití teorie dělitelnosti: řešení diofantických rovnic. 		7.3
2.5, 8.1-8.2, 9.1
6.3 		kap. 2.5+8 Aritmetika celočíselných polynomů a polynomů více proměnných.
Ideály.		 zadání, řešení Q1.5 výsledky
24.3.+28.3. Modulární aritmetika polynomů: modulární faktorokruh, kořenová nadtělesa, konečná tělesa.
Symetrické polynomy a Vietovy vztahy.		 9.2-9.3, 10.1
11		 kap. 8+9+10.1 Čínská věta o zbytcích pro polynomy. Konečná tělesa (a jiná kořenová nadtělesa). zadání, řešení Q1.6
31.3.+4.4. Základní věta algebry.
Konečná tělesa a a jejich využití (dokončení).
Grupy: definice a příklady grup. Izomorfismus a malé grupy. 		12
10
13.2, 15.2, 15.4 		kap. 12 Čínská věta o zbytcích pro polynomy.
Symetrické polynomy a Vietovy vztahy.		 zadání, řešení Q2.1
7.4.+11.4. Mocniny a řád prvku. Podgrupy: generátory, Lagrangeova věta.
Grupové homomorfismy, izomorfismus a neizomorfismus, Cayleyova reprezentace.		 14.1-14.2
15.1-15.3 		Permutace: základní aritmetika a konjugace, permutační grupy a jejich generátory. zadání, řešení Q2.2
14.4. ZÁPOČTOVÝ TEST. Quo vadis mathematica.
--- 18.4. velikonoce --- 		Řád prvku, podgrupy, generátory, homomorfismy. zadání, řešení ---
25.4. --- 21.4. velikonoce ---
Struktura cyklických grup, výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu. 		-
16.1-16.3 		Izomorfismus, neizomorfismus, čínská věta o zbytcích a struktura grup Zn*. zadání, řešení Q2.3
28.4.+2.5. Grupy symetrií. Působení grupy na množině a Burnsideova věta. Cauchyova věta.
Normální podgrupy.
17.1-17.2, 18.1-18.3
19.1 		Působení grupy na množině a Burnsideova věta. zadání, řešení Q2.4
5.5.+9.5. Faktorgrupy a řešitelnost. Faktorokruhy a konstrukce těles.
Tělesová rozšíření: algebraické prvky, minimální polynom a stupeň rozšíření.		 19.2-19.3, 20.1-20.3
21, 22.1 		Faktorgrupy a faktorokruhy. zadání, řešení Q3.1
12.5.+16.5. Tělesová rozšíření: stupeň vícenásobných rozšíření, aplikace: konstrukce pravítkem a kružítkem
Izomorfismy kořenových a rozkladových nadtěles, klasifikace konečných těles. 		22.2, 23
24.1-24.2		 Minimální polynom, stupeň tělesových rozšíření. zadání, řešení Q3.2
19.5.+23.5. Galoisovy grupy
(Ne)řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. 		sekce 25.1-25.2
26.2 		Tělesová rošíření (pokračování), něco málo na Galoisovy grupy. zadání, řešení Q3.3

Zápočet:
Podmínky získání zápočtu:

  • alespoň 14 bodů (z 20) ze zápočtového testu
  • alespoň 60% z každé ze tří kategorií kvízů (Q1.x, Q2.x, Q3.x)
Organizace zápočtových testů: standardní termín na přednášce 14.4., dva opravné termíny v květnu v pátek odpoledne. Podrobné informace z roku 21/22 jsou zde, letos to bude podobné, včas zveřejním aktualizaci. Vzorový test z roku 21/22: zadání, řešení.

Organizace kvízů: online, odkazy viz tabulka, zadání v pátek odpoledne, řešení do následujhícího čtvrtka. Kvízy budou za podobné, ale ne nutně stejné, množství bodů. Je třeba získat min. 60% v každé ze tří kapitol (Q1.1-Q1.6 = dělitelnost a polynomy, Q2.1-Q2.4 = grupy a symetrie, Q3.1-Q3.3 = tělesová rozšíření). V případě neúspěchu v kapitole Q3 je možnost požádat o náhradní písemnou práci (v kapitolách Q1, Q2 ne, tam je dostatek úloh).

Zkouška: 75% písemný test, 25% ústní zkouška, 4 termíny v prvních čtyřech týdnech zkouškového období, 2 termíny v září (asi první a předposlední týden). Zápočet je nutnou podmínkou k přihlášení.

Konzultace: Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se ozvat a přijít se zeptat. Na konzultaci můžete přijít kdykoliv po předchozí domluvě emailem.

Doporučené doplňující a navazující kurzy:

  • Proseminář z algebry (NMAG261): Cílem prosemináře je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Jak teoretických - například Velká Fermatova věta či klasifikace tvarů ploch, tak praktických - například šifry a samoopravné kódy. Proseminář je doporučen jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programu Mat. struktury a Mat. pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.
  • Pokud se chcete dozvědět o využití algebry v jiných disciplínách podrobněji, doporučuji kurzy Teorie čísel nebo Kryptografické systémy, které mají souběžně v 2. ročníku studenti programu MIT. Příbuznými tématy se zabývá také kurz Úvod do matematické logiky, vhodný pro 2. ročník.