David Stanovský
// 
|
|
| ALGEBRA (2024/25) |
Program:
- Elementární teorie čísel
- Základní algebraické objekty - základní algebraické struktury (okruhy, obory, tělesa), elementární teorie polynomů, číselné obory
- Abstraktní teorie dělitelnosti - zobecněná základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory, obory hlavních ideálů
- Obory polynomů - ireducibilní rozklady polynomů, modulární aritmetika a konečná tělesa, symetrické polynomy a základní věta algebry
- Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
- Tělesová rozšíření a Galoisova teorie - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem, Galoisovy grupy a (ne)existence vzorců pro řešení polynomiálních rovnic
Základní literatura: skripta Algebra 22
Sbírky úloh:
- loňské úlohy Jana Žemličky
- moje vlastní starší a provizorní sbírka dodatečných úloh
Hodnocení zápočtových úloh:
K1 stream (je-li něco v nepořádku, volejte spolužákovi, volejte na přednášejícího)
záznamy některých přednášek na univerzitním úložišti v rámci služby O365; nejprve budete požádáni zadat svůj univerzitní login tvaru 12345678@cuni.cz, poté se přihlásíte do O365 stejným způsobem jako do SIS)
záznamy některých přednášek na karlínském úložišti; přihlašovací údaje jste dostali emailem
Program (přesný minulý, předběžný budoucí - počítejte s drobnými posuny):
| téma přednášky | skripta | slajdy | téma cvičení | zadání cvičení | kvíz | |
| 17.2.+21.2. | Elementární teorie čísel: NSD, základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. | 1.1-1.5 | kap. 1 | Eukleidův algoritmus, kongruence. | zadání, řešení | Q1.1 výsledky |
| 24.2.+28.2. | Základní algebraické struktury: okruhy, obory a tělesa - příklady, základní vlastnosti, izomorfismus. Obory polynomů: definice, dělení se zbytkem, kořeny. |
2.1-2.4 3.1-3.4 |
kap. 2, kap. 3 | Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. | zadání, řešení | Q1.2 výsledky |
| 3.3.+7.3. | Číselné obory: okruhová a tělesová rozšíření, norma v kvadratických rozšířeních. Základní pojmy teorie dělitelnosti: asociované prvky, NSD, ireducibilní rozklady. |
3.6, 4.1-4.2 5.1-5.4 |
kap. 4, kap. 5+6 | Aritmetika polynomů: dělení se zbytkem, NSD, kořeny, ireducibilní rozklady. | zadání, řešení | Q1.3 výsledky |
| 10.3.+14.3. | Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky. Obecný Eukleidův algoritmus, obory hlavních ideálů. |
6.1-6.2 7.1-7.2 |
kap. 5+6, kap. 7 | Číselné obory: dělení se zbytkem, NSD, ireducibilní rozklady. | zadání, řešení | Q1.4 výsledky |
| 17.3.+21.3. | Shrnutí a využití: Hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti. Podílová tělesa. Racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium. Gaussova věta. Čínská věta o zbytcích pro polynomy. Využití teorie dělitelnosti: řešení diofantických rovnic. |
7.3 2.5, 8.1-8.2, 9.1 6.3 |
kap. 2.5+8 | Aritmetika celočíselných polynomů a polynomů více proměnných. Ideály. |
zadání, řešení | Q1.5 výsledky |
| 24.3.+28.3. | Modulární aritmetika polynomů: modulární faktorokruh, kořenová nadtělesa, konečná tělesa. Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. |
9.2-9.3, 10.1 11 |
kap. 8+9+10.1 | Konečná tělesa (a jiná kořenová nadtělesa). | zadání, řešení | Q1.6 výsledky |
| 31.3.+4.4. | Základní věta algebry. Konečná tělesa a a jejich využití (dokončení). Grupy: definice a příklady grup. Mocniny a řád prvku. |
12 10 13.2, 13.3 |
kap. 12 kap. 2+13 |
Čínská věta o zbytcích pro polynomy. Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. |
zadání, řešení | Q2.1 výsledky |
| 7.4.+11.4. | Podgrupy: generátory, Lagrangeova věta. Grupové homomorfismy, izomorfismus a neizomorfismus, klasifikace cyklických grup. |
14.1-14.2 15.1-15.4 |
kap. 14+15 | Permutace: základní aritmetika a konjugace, permutační grupy a jejich generátory. | zadání, řešení | Q2.2 |
| 14.4. | ZÁPOČTOVÝ TEST. Quo vadis mathematica. --- 18.4. velikonoce --- |
řešení testu | Řád prvku, podgrupy, generátory, homomorfismy. | zadání, řešení | --- | |
| 25.4. | --- 21.4. velikonoce --- Struktura cyklických grup, výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu. |
- 16.1-16.3 |
Izomorfismus, neizomorfismus, čínská věta o zbytcích a struktura grup Zn*. | zadání, řešení | Q2.3 | |
| 28.4.+2.5. | Grupy symetrií. Působení grupy na množině a Burnsideova věta. Cauchyova věta. Normální podgrupy. |
17.1-17.2, 18.1-18.3 19.1 |
Působení grupy na množině a Burnsideova věta. | zadání, řešení | Q2.4 | |
| 5.5.+9.5. | Faktorgrupy a řešitelnost. Faktorokruhy a konstrukce těles. Tělesová rozšíření: algebraické prvky, minimální polynom a stupeň rozšíření. |
19.2-19.3, 20.1-20.3 21, 22.1 |
Faktorgrupy a faktorokruhy. | zadání, řešení | Q3.1 | |
| 12.5.+16.5. | Tělesová rozšíření: stupeň vícenásobných rozšíření, aplikace: konstrukce pravítkem a kružítkem Izomorfismy kořenových a rozkladových nadtěles, klasifikace konečných těles. |
22.2, 23 24.1-24.2 |
Minimální polynom, stupeň tělesových rozšíření. | zadání, řešení | Q3.2 | |
| 19.5.+23.5. | Galoisovy grupy (Ne)řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. |
sekce 25.1-25.2 26.2 |
Tělesová rošíření (pokračování), něco málo na Galoisovy grupy. | zadání, řešení | Q3.3 |
Zápočet:
Podmínky získání zápočtu:
- alespoň 14 bodů (z 20) ze zápočtového testu
- alespoň 60% z každé ze tří kategorií kvízů (Q1.x, Q2.x, Q3.x)
Organizace kvízů: online, odkazy viz tabulka, zadání v pátek odpoledne, řešení do následujhícího čtvrtka. Kvízy budou za podobné, ale ne nutně stejné, množství bodů. Je třeba získat min. 60% v každé ze tří kapitol (Q1.1-Q1.6 = dělitelnost a polynomy, Q2.1-Q2.4 = grupy a symetrie, Q3.1-Q3.3 = tělesová rozšíření). V případě neúspěchu v kapitole Q3 je možnost požádat o náhradní písemnou práci (v kapitolách Q1, Q2 ne, tam je dostatek úloh).
Zkouška: 75% písemný test, 25% ústní zkouška, 4 termíny v prvních čtyřech týdnech zkouškového období, 2 termíny v září (asi první a předposlední týden). Zápočet je nutnou podmínkou k přihlášení.
Konzultace: Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se ozvat a přijít se zeptat. Na konzultaci můžete přijít kdykoliv po předchozí domluvě emailem.
Doporučené doplňující a navazující kurzy:
- Proseminář z algebry (NMAG261): Cílem prosemináře je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Jak teoretických - například Velká Fermatova věta či klasifikace tvarů ploch, tak praktických - například šifry a samoopravné kódy. Proseminář je doporučen jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programu Mat. struktury a Mat. pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.
- Pokud se chcete dozvědět o využití algebry v jiných disciplínách podrobněji, doporučuji kurzy Teorie čísel nebo Kryptografické systémy, které mají souběžně v 2. ročníku studenti programu MIT. Příbuznými tématy se zabývá také kurz Úvod do matematické logiky, vhodný pro 2. ročník.