Uvažujte algebraickou strukturu (Z x Z, + , - , . , (0,0), (1,1)) s tím, že operace provádíme po složkách (tj. třeba jako sčítání v aritmetických vektorových prostorech). Označte správné tvrzení. 

Je to komutativní okruh, ale ne obor.

Pozor, není to obor: (0,1)*(1,0)=(0,0).


***

Které z následujících množin reálných čísel tvoří podtěleso tělesa reálných čísel?  
(Poznámka: mimo soutěž si zkuste rozmyslet i otázku, které tvoří podokruh.)

{ a/b : a,b je celé číslo, b nenulové } tvoří podtěleso.

{ 0, 1 } netvoří ani podokruh: 1+1 v této množině není.

{ a : a>0 } netvoří ani podokruh: chybí tam 0, chybí tam prvky -a.

{ a/b : a je celé číslo, b je liché celé číslo } tvoří podokruh, ale ne podtěleso: chybí tam například inverz prvku 2.

***

Které z následujících množin reálných čísel tvoří podokruh tělesa reálných čísel? 
(Poznámka: mimo soutěž si zkuste rozmyslet i otázku, které tvoří podtěleso.)

R2 netvoří podokruh: chybí tam součin sqrt(2)*sqrt(3).
R1,R3,R4 tvoří podokruh.
R3,R4 tvoří dokonce podtěleso, ale je potřeba ověřit, že inverzní prvky mají skutečně uvedený tvar.

***

Napište stupeň polynomu x^3y^2 + x^4 + 7 z oboru (Z[x])[y].

2

***

Následující tvrzení o okruzích R[x] jsme formulovali s předpokladem, že R je obor. Která z těchto tvrzení platí i pro obecné komutativní okruhy R?

existence podílu a zbytku pro monický dělitel

existence podílu a zbytku pro monický dělitel: projděte si důkaz, podmínka na obor se tam nikde nevyskytuje
invertibilní prvky v R[x] mají stupeň 0: protipříklad jsem říkal na přednášce, v Z4[x] je polynom 2x+1 invertibilní
jednoznačnost podílu a zbytku: protipříklad je Z[i]