David Stanovský    //

PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2025/26

Cílem Prosemináře z algebry (NMAG261) je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Proseminář bude obsahovat různá témata prohlubující a doplňující probíranou látku, teorii i aplikace. Proseminář je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programů Mat. struktury a Mat. pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.

Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce. V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Uni. of California, Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:

• samoopravné kódy
• aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
• diskrétní logaritmus a kryptografie
• úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
• úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
• idea důkazu velké Fermatovy věty

Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu (nicméně současné provedení přednášek může být podstatně jiné, snad lepší). Loňský rozvrh je zde a letos to bude podobné, nikoliv stejné.

Vyučující: na přednáškách se budou střídat Pavel Paták a David Stanovský.

K1 stream (jen někdy)

Průběžně aktualizovaný program + předběžný plán:

	téma	učí	doporučené čtení a koukání	domácí úlohy
16.2.	Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems.	DS	videozáznam // slajdy s odkazy
23.2.	Kvaterniony, oktoniony a dál?	PP	oktoniony na wikipedii
2.3.	Volné grupy a Banach-Tarského paradox.	PP	videozáznam // Banach-Tarského paradox na wikipedii
9.3.	Perfektní míchání karet: matematické modelování jedné reálné úlohy pomocí algebry	DS	videozáznam // motivační video, kód v GAPu
16.3.	Samoopravné kódy: úvod.	DS	videozáznam // skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8 Hammingův kód na wikipedii
23.3.	Samoopravné kódy: využití interpolace v konečných tělesech (Reed-Solomonovy kódy, QR-kódy).	DS	skripta J. Žemličky
30.3.	Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů.	PP	skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4 latinské čverce na wikipedii, Dobble
6.4.	---- volno ---- (detektivka na večer)	-	(video + komentář k videu)
13.4.	Algebraické křivky: počet křížení, Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách.	?	wikipedia: algebraické křivky, příklady
20.4.	Eliptické křivky nad konečnými tělesy: krypto aplikace (Schnorrův protokol), přesah do teorie čísel (Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka).	?	skripta 16.3
27.4.	nějaká témata z teorie grup (maticové reprezentace, využití konjugace v reálném životě, Loydova patnáctka, ... ???)	?
4.5.	Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty.	?	video + komentář k videu
11.5.	Prezentace grup (a copánkové grupy)	?	poznámky o prezentacích
18.5.	Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka	?

Zápočet z prosemináře = zisk aspoň 50 bodů. Ty je možné získat za domací úkoly nebo úspěšné řešení kahootů na přednášce.

• Na (skoro) každé přednášce bude kahoot, první třetina v pořadí získává 5 bodů.
• Za semestr budou tři série písemných domácích úloh, každá 5-6 úloh po cca 5 bodech.

Tabulka s body.

Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie.
Příbuznými tématy se zabývá také kurz Úvod do matematické logiky, vhodný pro 2. ročník.