David Stanovský    //   

PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2025/26

Cílem Prosemináře z algebry (NMAG261) je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Proseminář bude obsahovat různá témata prohlubující a doplňující probíranou látku, teorii i aplikace. Proseminář je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programů Mat. struktury a Mat. pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.

Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce. V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Uni. of California, Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:

  • samoopravné kódy
  • aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
  • diskrétní logaritmus a kryptografie
  • úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
  • úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
  • idea důkazu velké Fermatovy věty

Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu (nicméně současné provedení přednášek může být podstatně jiné, snad lepší). Loňský rozvrh je zde a letos to bude podobné, nikoliv stejné.

Vyučující: na přednáškách se budou střídat Pavel Paták a David Stanovský.

K1 stream (jen někdy)

Průběžně aktualizovaný program + předběžný plán:

témaučídoporučené čtení a koukání domácí úlohy
16.2.Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems. DS videozáznam, slajdy s odkazy
23.2.Kvaterniony, oktoniony a dál? PP oktoniony na wikipedii
*** níže lonský průběh, bude aktualizován ***
2.3.Algebraické křivky: počet křížení, Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách. ? wikipedia: algebraické křivky, příklady
9.3.Samoopravné kódy. ? skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8
Hammingův kód na wikipedii
16.3.Volné grupy a Banach-Tarského paradox. ? wikipedia DÚ 1 do 11.4.
23.3.Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. DS (!) skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4
latinské čverce na wikipedii, Dobble
30.3.Využití interpolace: Reed-Solomonovy samoopravné kódy, QR-kódy. ? skripta J. Žemličky
6.4.---- volno ---- -
13.4.Konjugace v reálném životě :) ? DÚ 2 do 17.5.
20.4.--- velikonoce --- (detektivka na večer) - (video + komentář k videu)
27.4.Polynomy a logika: Interpolace více proměnných a reprezentace funkcí na konečné množině, algebraické důkazové systémy ?
4.5. Eliptické křivky nad konečnými tělesy: krypto aplikace (Schnorrův protokol), přesah do teorie čísel (Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka). ? skripta 16.3
11.5.Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. ? video + komentář k videu
18.5.Prezentace grup (a volné grupy a copánkové grupy) ? poznámky o prezentacích
---Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka ? DÚ 3 do 6.6.

Zápočet z prosemináře = zisk aspoň 50 bodů. Ty je možné získat za domací úkoly nebo úspěšné řešení kahootů na přednášce.

  • Na (skoro) každé přednášce bude kahoot, první třetina v pořadí získává 5 bodů.
  • Za semestr budou tři série písemných domácích úloh, každá 5-6 úloh po cca 5 bodech.
(Cílem je ověřit, že jste proseminář neprospali, nemělo by to být nic složitého ani časově náročného.)

Tabulka s body.

Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie.
Příbuznými tématy se zabývá také kurz Úvod do matematické logiky, vhodný pro 2. ročník.