David Stanovský
// 
|
|
| PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2023/24 |
Proseminář z algebry (NMAG261) je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník. Bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.
Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů),
doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce.
V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Uni. of California, Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:
- samoopravné kódy
- aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
- diskrétní logaritmus a kryptografie
- úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
- úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
- idea důkazu velké Fermatovy věty
Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu (nicméně současné provedení přednášek může být podstatně jiné, snad lepší).
Vyučující: na přednáškách se budou střídat Maryia Kapytka, Michael Kompatscher a David Stanovský.
Průběžně aktualizovaný program přednášky + předběžný plán:
| téma | vyučující | doporučené čtení a koukání | domácí úlohy | |
| 21.2. | Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems. | St. |
$1M problems, Fieldsovy medaile,
historie algebry
|
|
| 28.2. | Kvaterniony, oktoniony a dál? | Kap. | oktoniony na wikipedii | |
| 6.3. | Samoopravné kódy | Kap. | skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8 Hammingův kód na wikipedii |
|
| 13.3. | Konstrukce konečných těles, interpolace, Reed-Salomonovy samoopravné kódy. | Kap. | skripta Počítačová algebra, kap. 8 RS kódy na wikipedii |
DÚ 1 do 3.4. |
| 20.3. | Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. | Kom. |
skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4 latinské čverce na wikipedii, Dobble |
|
| 27.3. | Derivace a vícenásobné kořeny. Algebraické křivky: příklady |
Kap. St. |
skripta Algebra22, sekce 3.5 wikipedia |
|
| 3.4. | Algebraické křivky: počet křížení, Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách. | St. |
wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky přehledový článek o grupách na eliptických křivkách |
DÚ 2 do 17.4. |
| 10.4. | Eliptické křivky v teorii čísel (Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka) a v kryptografii. Loydova patnáctka |
St. Kom. |
BSD domněnka skripta Algebra22, sekce 14.3 |
|
| 17.4. | Maticové reprezentace grup. Cyklické grupy a digitální podpis (Schnorrův algoritmus). |
Kap. St. |
skripta Algebra22 sekce 15.5 |
|
| 24.4. | Volné grupy a prezentace grup | Kom | zápisky | |
| 1.5. | ---- volno ---- (detektivka na večer) | - | (video + komentář k videu) | |
| 8.5. | ---- volno ---- | - | ||
| 15.5. | Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. | všichni | video + komentář k videu | |
| 22.5. | Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka | St. | DÚ 3 do 31.5. |
Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie. Pokud Vás zajímá, na čem matematika stojí, pak Úvod do teorie množin a Úvod do matematické logiky.
Zápočet z prosemináře = zisk aspoň 50 bodů. Ty je možné získat za domací úkoly nebo úspěšné řešení kahootů na přednášce.
- Na (skoro) každé přednášce bude kahoot, první třetina v pořadí získává 5 bodů.
- Za semestr budou tři série písemných domácích úloh, každá 5-6 úloh po cca 5 bodech.
