7=(3+sqrt2)(3-sqrt2)=(5+4sqrt2)(-5+4sqrt2). Jak to vysvětlit?

některá z těch čísel jsou navzájem asociovaná v Z[sqrt2]

(3+sqrt2)(1+sqrt2)=5+4sqrt2, prvek 1+sqrt2 je invertibilní. Jde tedy o "stejné" rozklady ve smyslu definice (stejné až na pořadí a asociovanost), podobně jako kdybychom rozložili 6=2*3=(-2)(-3).


***

Které z následujících jsou obory hlavních ideálů?

ANO:
obor racionálních čísel   (protože to je těleso)
Z[sqrt3]    (protože je eukleidovský)

NE:
(Z[i])[x]    (stejný argument jako pro Z[x])
C[x,y,z]     (stejný argument jako pro Q[x,y])

***


Které množiny tvoří ideál v Q[x]?	

Žádná odpověď není správná. 

Monické polynomy ne, můžeme násobit konstantou.
Polynomy s celočíselným absolutním členem, ditto.
Polynomy stupně >5 ne, součet či rozdíl může mít menší stupeň.
Polynomy stupně <5 ne, násobek může mít větší stupeň.


***

Které množiny tvoří ideál v Z[i]?

ANO:
čísla se sudými koeficienty

NE:
Celá čísla ne, mohu násobit i například.
Čísla s velkou normou ne, norma součtu může být mnohem menší než součet norem, například pro a + (-a)

***

Napište kladné číslo a takové, že aZ je průnikem ideálů 100Z a 12Z (v oboru Z celých čísel).

300 = NSN(100,12)