Analytická geometrie

Jsou dány body P[3; 5], Q[2; 1] a vektory u = (1; 2), v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(P, u) a q(Q, v) rovnoběžné.

• Hledáme nějaké reálné číslo k takové, aby v = ku (přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li vektor v nenulovým násobkem vektoru u). 3 = 1⋅k, 6 = 2k. Pro k = 3 je soustava splněna, přímka p je rovnoběžná s přímkou q.

Jsou dány body P[3; 5], Q[2; 1] a vektory u = (1; 2) a v = (3; 6). Rozhodněte, zda jsou přímky p(P, u) a q(Q, v) totožné.

• Ze zadání je vidět, že v = 3u a tedy p || q. Musíme zjistit, zda bod Q leží na přímce p. Přímku p parametricky vyjádříme:
  x = 3 + t,
  y = 5 + 2t; t ∈ .
• Do rovnic dosadíme souřadnice bodu Q a hledáme hodnotu parametru t tak, aby platilo:
  2 = 3 + t,
  1 = 5 + 2t.
• Z první rovnice plyne t = -1. Po dosazení do druhé rovnice získáme 1 = 3. To neplatí a soustava tedy nemá řešení. Bod Q proto neleží na přímce p a přímky p a q jsou rovnoběžné různé.

Jsou dány přímky p(P, u) a q(Q, v), P[2; -1], u = (1; 2), Q[0; -2], v = (1; 1). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík

• Nejprve vyloučíme možnost, že by přímky p a q byly rovnoběžné. Je vidět, že směrový vektor u = (1; 2) není násobkem směrového vektoru v = (1; 1), přímky p a q proto nejsou rovnoběžné. Budeme pokračovat tím, že obě přímky vyjádříme parametricky.

• p: x = 2 + t, y = -1 + 2t; t ∈ .

  q: x = s, y = -2 + s; s ∈ .

• Hledáme společný bod těchto přímek, tedy bod, jehož x-ová i y-ová souřadnice je v rovnicích obou přímek stejná. Získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
  2 + t = s,
  -1 + 2t = -2 + s.
• Řešením soustavy je t = 1 a s = 3. To jsou hodnoty parametrů, které odpovídají souřadnicím námi hledaného průsečíka přímek p a q v jejich parametrických vyjádřeních. Stačí buď t = 1 dosadit do parametrické rovnice přímky p nebo s = 3 do parametrické rovnice přímky q a vypočítat souřadnice průsečíku:

  p: x = 2 + 1 = 3, y = -1 + 2⋅1 = 1.

  q: x = 3, y = -2 + 3 = 1.

• Přímky p a q jsou různoběžné. Jejich průsečíkem je bod X[3; 1]. Na obr. 3.9 si prohlédněte, jak vypadá situace z tohoto příkladu.
  
  

  Obr. 3.7: Řešení příkladu 3.10

Jsou dány přímky p(P, u) a q(Q, v), P[-1; 0], u = (1; 2), Q[3; 5], u = (3; 6). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

• p: x = 1 - t, y = 2t; t ∈ .

  q: x = 3 + 3s, y = 5 + 6s; s ∈ .

• Řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
  -1 + t = 3 + 3s,
  2t = 5 + 6s.
  Pokud od druhé rovnice odečteme dvojnásobek první získáme
  2 = -1.
• To neplatí pro žádnou hodnotu t a s a soustava tedy nemá žádné řešení. Tento výsledek geometricky interpretujeme tak, že přímky p a q nemají žádný společný bod, a proto můžeme říci, že přímky p a q jsou rovnoběžné různé.

Jsou dány přímky p(P, u) a q(Q, v), P[1; 2], u = (1; -2), Q[-1; 6], u = (-2; 4). Určete jejich vzájemnou polohu a jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

• p: x = 1 + t, y = 2 - 2t; t ∈ .

  q: x = -1 - 2s, y = 6 + 4s; s ∈ .

• Řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
  1 + t = -1 - 2s,
  2 - 2t = 6 + 4s.
  Pokud první rovnici vynásobíme dvěma a přičteme ke druhé rovnici získáme
  4 = 4.
• To platí pro libovolnou hodnotu t a s a soustava tedy má nekonečně mnoho řešení, c ož znamená, že existuje nekonečně mnoho bodů ležících jak na přímce p, tak q, proto p = q.

Určete vzájemnou polohu přímek p a q.
p: x + 2y - 1 = 0,
q: 3x + 6y = 2.

• Normálový vektor přímky p budeme značit jako np, analogicky normálový vektor přímky q jako nq.
  np = (1; 2),
  nq = (3; 6).
• Ze zápisu je vidět, že nq je násobkem np, naše přímky jsou tedy rovnoběžné. Zbývá zjistit, zda jsou totožné nebo rovnoběžné různé.
• Pokud by rovnice q byla násobkem p, byly by totožné. Aby rovnice q byla násobkem rovnice p, musel by koeficient c v rovnici přímky q odpovídat hodnotě -3 (to plyne z toho, že vektor nq = 3np). Koeficient je roven jen -2, tedy p a q jsou rovnoběžné různé.

Určete vzájemnou polohu přímek p a q, je-li
p: x - y - 1 = 0,
q: 3x + 3y - 6 = 0. Jsou-li různoběžné, najděte i jejich průsečík.

• Najdeme normálové vektory přímek p a q:
  np = (1; -1),
  nq = (3; 3).
• Vidíme, že vektor np není násobkem vektoru nq, a proto přímky nejsou rovnoběžné a musí být tedy různoběžné (přímky p a q jsou na sebe dokonce kolmé). Pokud přímky p a q nejsou rovnoběžné, má smysl hledat jejich společný bod. Ten získáme, pokud vyřešíme následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
  x - y = 1,
  3x + 3y = 6.
• Z první rovnice plyne x = y + 1. Po dosazení do druhé rovnice získáme:
  3y + 3 + 3y = 6,
  tedy x = 3/2 a y = 1/2.
• Přímky p a q jsou různoběžné, jejich průsečíkem je bod \(X \left[\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right]\).

Určete vzájemnou polohu přímek p: x - 2y + 5 a q: x = 3 - 2t, y = 2 + t; t ∈ . Pokud existuje, najděte jejich průsečík.

• Do obecné rovnice přímky p dosadíme za x a y vyjádřené souřadnice x a y z parametrické rovnice přímky q:
  (3 - 2t) - 2(2 + t) + 5 = 0.
• Tuto rovnici vyřešíme: 3 - 2t - 4 - 2t + 5 = 0,
  -4t + 4 = 0,
  t = 1.
• Rovnice má jedno řešení. To znamená, že p × q a jejich průsečíkem je bod P[1; 3], který odpovídá hodnotě parametru t = 1 v parametrické rovnici přímky q.