\begin{align} \end{align}

Parametrické vyjádření roviny

V prostoru je rovina jen jedním z mnoha objektů, a proto má smysl zabývat se jejím vyjádřením. Rovina je určena třemi nekolineárními bodynapoveda, nebo dvěma různými přímkami, které ale nejsou mimoběžné, nebo třeba bodem a dvěma různými vektory, z nichž jeden není reálným násobkem druhého.

Obr. 4.2: Určení roviny
Obr. 4.2: Určení roviny

Zavedeme si dvě různá vyjádření roviny v prostoru - parametrické vyjádření a později obecnou rovnici roviny.

Definice

Rovnice X = A + su + tv, kde s, t ∈ realne cislo, u ≠ o, v ≠ o, a u ≠ kv, pro libovolné k ∈ realne cislo,
se nazývá parametrická rovnice nebo též parametrické vyjádření roviny ABC, kde B = A + u a C = A + v. Neznámé s, t nazýváme parametry.

Zapíšeme-li parametrickou rovnici roviny určenou bodem A a vektory u a v, kde A[a1; a2; a3], u = (u1; u2; u3) a v = (v1; v2; v3), pomocí souřadnic bodů a vektorů, získáme vyjádření souřadnic bodů X[x; y; z] této roviny v závislosti na hodnotách parametrů s a t:
x = a1 + su1 + tv1,
y = a2 + su2 + tv2,
z = a3 + su3 + tv3; s, t ∈ realne cislo.

Příklad 4.3

Určete parametrickou rovnici roviny ABC, jestliže A[0; 2; 1], B[-1; 3; 2] a C[4; -1; 3].

Řešení
  • Parametrickou rovnici roviny určíme podle definice. Pro u = B - A, v = C - A je rovnice roviny ABC:
    X = A + su + tv; s, t ∈ realne cislo.
  • Nejprve určíme vektory u = AB a v = AC.
    u = (-1; 1; 1),
    v = (4; -3; 2)
    a rovnici roviny vyjádříme jako:
    x = -s + 4t,
    y = 2 + s - 3t,
    z = 1 + s + 3t; s, t ∈ realne cislo.
Poznámka

Každá rovina v prostoru je vyjádřena nějakým parametrickým vyjádřením roviny a každé parametrické vyjádření roviny popisuje nějakou rovinu.

Úloha

Rozhodněte, zda bod K[3; 2; 0] leží v rovině určené bodem A[2; 1; 5] a přímkou p(B, u), jestliže B[2; -1; 2] a u = (1; 3; 3).

Řešení