\begin{align} \end{align}

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny je další způsob vyjádření roviny v prostoru. Obecná rovnice roviny v prostoru je podobná obecné rovnici přímky v rovině.

Definice

Rovnice
ax + by + cz + d = 0; a, b, c, d ∈ realne cislo,
kde alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové, se nazývá obecná rovnice roviny.

Poznámka

Všechny body X[x; y; z], které splňují nějakou obecnou rovnici roviny tvoří rovinu a naopak každá rovina je určena nějakou obecnou rovnicí.

Z obecné rovnice roviny snadno zjistíme, jaké body v této rovině leží - jsou to všechny ty, jejichž souřadnice tuto rovnici splňují. Zajímavější a složitější bude zjistit, jak pro zadanou rovinu, určíme její obecnou rovnici. Stejně jako v předcházející kapitole, kdy jsme hledali obecnou rovnici přímky, k tomu budeme využívat normálový vektor.

Definice

Vektor n, který je kolmý ke všem vektorům ležícím v rovině, nazýváme normálovým vektorem této roviny.

Obr. 4.3: Normálový vektor roviny
Obr. 4.3: Normálový vektor roviny

Z definice a obr. 4.3 plyne, že rovinu můžeme určit jedním bodem a jejím normálovým vektorem. Toho využijeme a vyslovíme následující větu.

Věta

V obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny δ, určené bodem P[p1; p2; p3] a normálovým vektorem n = (n1; n2; n3), odpovídají koeficienty a, b, c souřadnicím jejího normálového vektoru n; a = n1, b = n2 a c = n3.

zobraz důkaz

Úmluva: Rovinu ρ, určenou bodem A s normálovým vektorem n, budeme zapisovat jako ρ(A, n).

Příklad 4.4

Určete obecnou rovnici roviny ABC, kde A[2; -2; 1], B[1; -1; 4] a C[0; 0; 1].

Řešení
  • Nejprve určíme normálový vektor této roviny. Ten vypočítáme jako vektorový součinnapoveda vektorů AB a AC. AB = (-1; 1; 3), AC = (-2; 2; 0),
    AB × AC = (-6; -6; 0).
  • Podle předcházející věty tento vektor určuje koeficienty a, b, c obecné rovnice roviny ABC. Ta pak vypadá následovně:
    -6x - 6y + 0z + d = 0.
  • Zbývá dopočítat koeficient d. Ten získáme, dosadíme-li do rovnice souřadnice některého z bodů A, B, C. Pro jednoduchost zvolíme bod C a dojdeme k d = 0. Hledaná obecná rovnice má tvar:
    -6x - 6y = 0.
  • Výslednou rovnici si snadno můžeme ověřit dosazením souřadnic bodů A a B.

Mějme na souřadnicových osách dány body P[p; 0; 0], Q[0; q; 0] a R[0; 0; r], které jsou různé od počátku. Rovina PQR má potom rovnici:

\(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1\).

Definice

Rovnice

\(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1; p\cdot q\cdot r \ne 0, p, q, r \in R\)

se nazývá úsekový tvar rovnice roviny.

Z úsekového tvaru rovnice roviny tedy můžeme velmi jednoduše vyčíst průsečíky roviny se souřadnicovými osami nebo naopak z průsečíků se souřadnicovými osami můžeme snadno zjistit rovnici roviny, která osy v daných bodech protíná.

Obr. 4.4: Průsečíky roviny se souřadnicovými osami
Obr. 4.4: Průsečíky roviny se souřadnicovými osami
Poznámka

Rovnici roviny v úsekovém tvaru lze psát právě tehdy, když rovina není rovnoběžná s žádnou souřadnicovou osou a neprochází počátkem.

Příklad 4.5
  1. Najděte úsekový tvar rovnice roviny: x = 2 - 2s, y = 3 + 3t, z = 1 - t - s; t, s ∈ realne cislo.
  2. Převeďte obecnou rovnici roviny: 5x - 8y - 6z + 11 = 0 na parametrické vyjádření.
  3. Určete obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky: x = 2 + 2t - s, y = 3 - t + 3s, z = -1 - 2t - s; s, t ∈ realne cislo.
Řešení
    • Úsekový tvar umíme určit z průsečíků roviny se souřadnicovými osami. Ty se pokusíme najít.
    • Průsečík s osou x musí mít y-ovou a z-ovou souřadnici rovnu nule, tedy
      3 + 3t = 0,
      1 - t - s = 0.
      Z první rovnice přímo vyjádříme t = -1. Po dosazení do rovnice druhé dopočítáme s = 0. Tyto hodnoty parametrů odpovídají bodu P[2; 0; 0].
    • Průsečík s osou y musí mít x-ovou a y-ovou souřadnici rovnu nule, budeme řešit soustavu:
      2 - 2s = 0,
      1 + t - s = 0.
      Z první rovnice vyjádříme s = 1 a po dosazení do rovnice druhé dopočítáme t = 0. Hodnotám parametrů s = 1, t = 0 odpovídá bod Q[0; 3; 0].
    • Nakonec nalezneme průsečík s osou z. Ten má nulovou x-ovou a y-ovou souřadnici. Vyřešíme soustavu:
      2 - 2s = 0,
      3 + 3t = 0.
      Tuto soustavu vyřešíme. Jejím řešením je s = 1, t = -1. To odpovídá bodu R[0; 0; 1].
    • Protože průsečíky se všemi souřadnicovými osami existují, jsou to P[2; 0; 0], Q[0; 3; 0] a R[0; 0; 1], můžeme zapsat úsekový tvar rovnice roviny:
      \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} - z = 1\).
    • K získání parametrického vyjádření roviny potřebujeme znát jeden její bod a dva vektory, které v ní leží, přičemž jeden nesmí být násobkem druhého. Z obecné rovnice sice vyčteme souřadnice normálového vektoru, ale ty v tomto případě nemůžeme nijak využít. Místo toho využijeme obecnou rovnici roviny k tomu, abychom našli nějaké tři nekolineární body A, B, C této roviny.
    • Pro bod A zvolíme x = 1, y = 2 a dopočítáme z obecné rovnice roviny jeho z-ovou souřadnici, A[1; 2; 0]. Podobně určíme body B[5; 3; 2] a C[1; -1; 4]. Tyto body jsou nekolineární.
    • Pro určení parametrické rovnice roviny použijeme bod A a vektory AB, AC:
      AB = (4; 1; 2),
      AC = (0; -3; 4).
    • Parametrickou rovnici pak můžeme psát jako:
      x = 1 + 4t,
      y = 2 + t - 3s,
      z = 2t + 4s; s, t ∈ realne cislo.
    • Z parametrického vyjádření můžeme určit souřadnice jednoho bodu roviny a dvou jejích vektorů. Tím bodem je bod A[2; 3; -1] a vektory jsou u = (2; -1; -2), v = (-1; 3; -1). Normálový vektor roviny je kolmý ke všem vektorům roviny a tedy i k vektorům u a v. Takovou vlastnost má vektor w = u × v, který vypočítáme:
      u × v = (2; -1; -2) × (-1; 3; -1) = (7; 4; 5).
    • Obecnou rovnici roviny můžeme zapsat jako
      7x + 4y + 5z + d = 0.
      Po dosazení souřadnic bodu A do této rovnice dopočítáme d = -21. Hledaná obecná rovnice zadané přímky je:
      7x + 4y + 5z - 21 = 0.