Matematicka analyza I - 2024/2025
Zakladni kurz analyzy pro studenty fyziky: zaklady matematiky, limity, derivace, primitivni funkce, prubehy funkci, Riemannuv integral. Prednasejici
doc. M. Bulicek.
Behem semestru zadam 4 DU po 2b a 1 DU si vyberete (bude za 2) a budete psat 2-3 pisemky - celkem za 18b. Za DU bude "oriznuti" na 7, tj. max pocet, co bude moci ziskat za DU, je 7.
Celkem muzete ziskat nejvyse 25 bodu. Ziskane body se nakonec semestru vynasobi dvema a toto cislo dorucim doc. Bulickovi ke zkousce. Zapocet je za 13 bodu.
Priklady na procvicovani doma i na cvicenich:
[a],
[b],
[c],
[d],
[e],
[f] (vice mene tabulkove integraly, intervaly nemusite urcovat),
[g] (zde aspon nejake, ne nutne maximalni, intervaly),
[h] (str. 7 - stav nouze, font se stal tezko citelny),
[i],
Celkem dobry integrator je https://www.integral-calculator.com/ , ale pozor substituce pro goniom. mirne jine -
pro ne nemate overeni VoS a intervaly
jako pro ty z prednsaky.
[j],
[k],
[l],
[m] (procviceni mezikroku pri vysetrovani prubehu; jde o prohloubeni pro zajemce)
Dalsi moznosti J. Kopacek: Priklady z mat. (nejen) pro fyziky 1, Skripta R. Cerny, M. Pokorny.
Zde se budou postupne objevovat reseni uloh ze cviceni [1], [2], [3],
[4], [5],[6], [7],
[8], [9],[10], [11],
[12],[13]
Zde se budou objevovat vzorova reseni nekterych domacich uloh
vzor DU2, vzor DU4, vzor DU5
Budouci pisemky 2:vzor pisemka 1, vzor pisemka 2
Tabulka s body
Tabulka s derivacemi a integraly
Tabulka se substitucemi
Tabulka s Taylorovymi radami
Principy hamonicke analyzy 2024/25
Zapis prednasek. Stale plati, ze aktualni jsou prednasky.
2022: Letos vynechana neuplnst Q_p pro p>3.
Prolog a historii nezkousim... Vetu o spektralnim polomeru jsem v poznamkach upravil oproti
lonskym podle prednasek, kdybyste lonske cetli a nechodili na prednasky. Casti o maximalnich idealech muze byt udelana mirne jinak, viz Deitmar, Echterhoff: Principles... ,
kdyby Vam to vyhovovalo; tato publikace muze byt i doplnkem pro vetu Gelfand-Najmark.
[1]
[bc-MD]
Matematika pro fyziky 1 2021/22 (3. semestr M pro f)
Zadani priklady na "procviceni":
[1],
[2],
[3],
[4],
[5],
[6],
[7],
Reseni domacich uloh: 1. DU 17. listopadu, 2. DU (pocatkem prosince)
Principy harmonicke analyzy - 2020/2021
Poznamky z prednasek (prestal jsem oznacovat odpadlou prednasku a dodal zapisky z hodiny o GN-vete, jako prednasku 10): [P1], [P2] (vc. cviceni) [P2-dodatek],
[P3], [P4], [P5], [P6]
[P7][P8], [P9] mnoho poznamek - ty jsou jen na whiteboard, [P10],
[P11], [P12]
Introduction: History and Motivation: Heat equation, Fourier series (L^2-convergence, uniform convergence, limiting operation exchange), Schwartz space, Fourier transform; transform
<--> series, exponential (homomorphism), convolution - associativity; Gelfand transform and commutative algebras; I. Kaplansky, Rieffel, I. Segal, A. Connes approchaes to models of
mathematical quantum physics
Recalling of Topology and Measure: topological group, local compactness, Borel sigma-algebras, Radon measure, Haar measure, Euclidean, subset, discrete, co-countable topology;
(R,+), two (Q,+), (R^+, .), GL(n, R), O(n,R) - topol. groups, topological group of p-adic numbers
Existence of the Haar measure (using Tychonov thm., Weil construction), uniqueness (hint to a proof); existence on Lie groups; modular factors
Basics on (topological) representation thy: irreducibility, abelian groups irred. reps, Schur lemma for fin. dim. reps., Peter--Weyl thm. (without proof, applications), irred. reps of
S^1, Z, R
C*-algebras and Gelfand thm.: Fourier transform on L^1(G), Banach *-algebras, C^*-algebras, invertible elements, spectras, spectral radius, state space and maximal ideals,
Gelfand thm.
Pontryagin thm. (partial proof)
Poisson summation for theta functions
Poznamky ze cviceni: [C1]; cviceni 2 je s prednaskou 2 a Dodatky vyse; prednasky 3 - 5 obsahuji priklady (byt poskrovnu);
zapisy ze cviceni soucasti prednasky 6, tvorilo znacnou cast prednasky; zapisky cviceni 7 soucasti zapisku prednasky - predevsim nearchimedovskost Q_p
(maxima na whiteboradu, spise trivialni, netreba jej cist), zapisky
cviceni 8 jsou podrobne, s komentarem, na bile tabuli a v nahravce na zoomu; zde jsou zapisky z nej [C8];
cviceni 9 soucasti prednasky, i zoomu a whiteboardu, kde slo hlavne slo o souvislosti F. t. a F. koef.; cviceni 10 soucasti zapisku z prednasky;
zapisky cviceni 11 (ne prilis) a 12 jsou soucasti poznamek z prislusnych prednasek
Linearni algebra I - 2019/2020
Zakladni kurz linearni algebry pro studenty obecne fyziky: vektorove prostory, linearni zobrazeni, souradnice vektoru, matice a operace s nimi,
vlastni cisla a vektory linearnich zobrazeni a determinanty
Domaci stranka prednasek a cviceni, kde najdete 1. informace o zkousce, 2. o zapoctech, 3. cviceni, 4. kvizy a 5. seznamy bodu k zapoctu
a) z pisemek ze cviceni (dva + jeden test), i tech pridelovanych prubezne, tj. za b) kvizy a c) domaci ulohy popr. bonusovych bodu
Linearni algebra I - 2018/2019
Zakladni kurz linearni algebry pro studenty obecne fyziky: vektorove prostory, linearni zobrazeni, souradnice vektoru, matice a operace s nimi,
vlastni cisla a vektory linearnich zobrazeni a aplikace
Domaci stranka prednasky, kde najdete informace o zkousce, zapoctech, kvizy a seznamy bodu z a) pisemek i tech pridelovanych prubezne za b) kvizy a c) domaci ulohy
Matematicka analyza pro fyziky II - cviceni, 2017/18
Podminky: 2 pisemky po 20 bodech, aktivni ucast 5; na zapocet staci 20; opakovani zapoctu jen pri ucasti 75 procent nebo vice
Pokrocile partie z teorie grup pro fyziky, 2017/18
Lieovy grupy - topologie a mira, Haarova veta o mire na lokalne kompaktnich grupach: priklady
Zaklady teorie reprezentaci (predevsim kompaktnich) Lieovych grup, Weylova veta
Superalgebry - superprostory, End, super-Lieovy algebry
Heisenbergova grupa a Stonova-Neumannova veta, reprezentace Segala-Shalea-Weila
Literatura: M. Sepanski - Compact Lie Groups; S. Sternberg - Group Theory and Physics;
R. Goodman, N. Wallach - Invariants and Representation Theory of Classical Groups;
N. Vilenkin, A. Klimyk - Representation Theory and Special Functions; A. Deitmar, S. Echterhoff - Principles of Harmonic Analysis;
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups I
Odprednasena latka
Riemannova geometrie 1 - 2017/18
Riemannovy plochy, 2017/18
Teorie invariantu (2/2)
Predevsim pro studenty matematickych struktur nebo sifrovani a pro vsechny, kdo se zajimaji o invarianty z teoretickeho hlediska -
napr. studenty teoreticke a jaderne fyziky nebo geometrie. Budeme se zabyvat reprezentacemi polojednoduchych algeber (zejmena grupove algebry konecnych grup).
Prostor invariantu ztotoznime s prostorem P(P_n(V))^G, V = C^2. Napr. jeste v soucasnsti nejsou zname (byt jen projektivni!)
invarianty algebraickych krivek stupne 12 ve dvou promennych. Dokazeme Hilbertovu vetu o konecne dimenzi invariantu, spocteme dimenzi jejich
prostoru stupne k a rekneme par vet
o jejich konstrukci a podle ajmu posluchacu o invariantech v prostorech modulu v geometrii a invariantech v teorii cisel.
- Motivace: Historie, Co je invariant?, binarni kvadriky a jejich projektivni invarianty
- Zaklady reprezentaci asociativnich algeber (shrnuti zakladnich vysledku, opakovani)
- Reprezentace jednoduchych asociativni algeber
- Reprezentace grupovych algeber konecnych grup
- Zakladni fakta o reprezentacich Lieovych grup, zejmena grupy SL(2,C)
- Invarianty binarnich n-ik: dimenze jejich prostoru, nektere konstrukce
- Prehled kombinatoricky struktur pro GL- a SO-invarianty (Schur, Weyl, Young)
- Pokud se stihne: Prostory modulu, invarianty v komutativni algebre, grupa protinani a Chowuv okruh
Harmonicka analyza I (3/1) - 2016/2017
Fourierova analyza ma sve zobecneni pro jine grupy nez translacni grupu (R^n,+) , na jejichz L^2-funkcich Fourierova transformace pusobi.
Gelfandova transformace je jejim zobecnenim na abstraktni C*-algebru. Naucime se jak z obecne lokalne kompaktni grupy vytvorit
Banachovu algebru, jak se reprezentuje a jake ma spektrum. Teorie bude ilustrovana priklady znamymi z realne a komplexni matematicke analyzy.
- Lokalne kompaktni topologicke grupy.
- Tychonovova veta o soucinu kompaktu.
- Modifikovana Weilova konstrukce Haarovy miry na lokalne kompaktnich topologickych grupach.
- Zaklady C*-algeber.
- Gelfandova transformace. Spektrum C*-algebry.
- Pontryaginova dualita.
- Priklady aplikace Pontryaginovy duality.
- Unitarni dualy podle Segala.
Matematika pro fyziky III ZS (5. semestr)
Organizacni zalezitosti vc. informaci pro komb. studenty, prubehu zkousky a hodnoceni
Obsah prednasky vc. sylabu, akt. probranych temat a literatury
Cviceni priklady a informace obecnejsi povahy: viz organ. zal. nebo stranky dr. Doubka na karlinskem serveru
Matematika pro fyziky II LS (4. semestr)
Matematika pro fyziky I ZS (3. semestr)
Matematicka analyza II LS (2. semestr)
Matematicka analyza I ZS (1. semestr)
Pokrocile partie teorie grup pro fyziky
Prednaska je urecena predevsim pro studenty teoreticke a jaderne fyziky, matematicke analyzy (toerie miry)
a matematickych struktur (teorie grup, geometrie, moduly), ale i vsem zajemcum o pocatky teorie reprezentaci, a jeji aplikace
v jinych oblastech matematiky (napr. tzv. specialni funkce) a ve fyzice (moderni pojem castice).
Predpokladaji se znalosti linearni algebry, zaklady variet (matematici: definice, tecne zobrazeni, integrace na varietach, fyzici: plochy, tecne zobrazeni,
integrace na plochach) a povedomi z teorie Lebesguova integralu (pojem miry).
Znalosti fyziky nejsou predpokladany, ale usnadni porozumeni v aplikacich.
Temata:
- Priklady Lieovych grup, Haarova mira na kompaktni Lieove grupe
- Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup v konecne dimenzi: uplna reducibilita, Schurovo lemma
- Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup na Hilbertovych prostorech:
Schurovo lemma, uplna reducibilita, Peter-Weyluv teorem (event. Plancharelova formule)
- Odvozeni nekterych znamych formuli z Fourierovych rad a Fourierovych transformaci pomoci aplikace vyse uvedene
teorie na grupu S^1 a na R^n
- Aplikace na teorii specialnich funkci: definice, rekurentni formule, diferencialni rovnice
pro Besselovy fce 1. druhu, Legendreovy polynomy (event. i pro Hermiteovy funkce)
- Klasifikace reprezentaci semidirektnich soucinu grup (Wigner) aneb unitarni dual Poincareho grupy (Harish-Chandra)
Odtud definice castice a klasifikace castic v ramci kvantove mechaniky invariantni vuci STR - hmotne castice (daneho spinu), nehmotne castice (dane helicity), vakua, nepripustnych stavu.
Matematici se nemusi bat...Fyzici se dozvi dukaz klasifikace.
- Klasicke super Lieovy algebry: priklady super Lieovych algeber (zneni klasifikacni vety V. Kace); pokud zbyde cas, klasifikacni veta Victora Kace.
Literatura:
- M. Siepanski, Compact Lie groups, Springer
- H. Weyl, Gruppentheorie und Quantummechanik, Leipzig; existuje anglicky preklad
- M. Vilenkin, K. Klimyk, Specialnyje funkcije i predstavljenia; existuje anglicky preklad
- S. Sternberg, Group Theory and Physcs - velmi doporucuji, neb se z teto muzete dozvedet nejen
mnohe z Lieovych (vc. konecnych) grup, ale i ze spektroskopie, krystalografie
a i z klasickych kalibracnich teorii (osmi dilna cesta, hon na kvarky aj. objevy fyziky castic vysokych energii)
- V. Kac, Classification of simple Lie super algebras, Annals of Mathematics
Cteni z ruznych partii teorie cisel spolecne s L. Krizkou, zajemci z rad studentu
matematicke struktur, matematicke analyzy, popr. teoreticke a jaderne fyziky a dalsich jsou srdecne zvani
- Cteme knihu From Arithmetics to Physics a Introduction to the Langlands programme, doplnky zakladnejsich neznalosti z Bundschuh: Einfuehrung in die Zahlentheorie
- Cteni se v LS 07/08 kona o utercich od 16. hod. v ucebne K12, o ctvrtcich v sem. mist MU UK od 16. hod. kazdy lichy tyden a v teze mistnosti od 17:30 kazdy sudy tyden (po skonceni Cteni z teorie strun)
- Cteni autmofnich a modularnich forem, LS 10/11, termin zatim nestanoven
Cteni z matematickych aspektu teorie strun - mimo rozvrh fakulty
- Zakladnim textem jsou Dijkgraafovy lekce "Les Houches Lectures on Fields, Strings and Duality"
ze zimni skoly v Les Houches; vhled do fyzikalnich aspektu - ruzne texty na webu.
Text lekci
- Terminy
- Aktualni terminy: seminare se budou konat ve ctvrtek 16:10 -17:40 v sem. mist.MUUK v tertim patre na Karline.
- LS 04/05: 2 dimenzionalni kvantova teorie pole - klasifikace teorii pomoci Frobeniovych algeber
- Prazdniny 04/05: svazkove kohomologie[1],[2];
divizory, Riemann-Rochova veta na Riemannovych plochach [3];
navod na reseni prikladu na rod Fermatovy krivky nakryvajici Riemannovu sferu, spocteny pomoci
Riemann-Hurwitzovy formule je mozno v ponekud nestd. cestine najit zde [4]
- ZS 05/06 dimenze regularizovaneho Teichmuellerova prostoru (dokonceni z min. semestru);
konformni teorie pole, vertexove algebry; text (bohuzel v nj, ale velmi dobry) [CQFT],
Seiberg-Wittenova teorie - viz T. Friedrich: Dirac Operators on Riemannian manifolds, Teubner-Verlag.
- O zkouskovem a prazdninach by mel cist L. Krizka na tema Homologicka zrcadlita symetrie and Fukayovy kategorie
- Stav: tento semestr jsme probrali zaklady Osterwald-Schraderovy axiomatiky CFT; nestihli jsme prvni exkurzi do
4dQTF - tj. Seiberg-Wittenovu teorii
- ZS 06/07 Libor mluvil o vertexovych algebrach a o 2dCQFT
- LS 06/07 Homologicka zrcadlita symetrie a Fukayovy kategorie. Einsteinovy variety: homogenni variety vs. Kaehlerovy variety jako zakl. priklady
Einsteinovych variet, Calabi-Yau variety: nadplochy v projektivnim prostoru, projektivni prostory nejsou (vypocet pomoci Chernovych trid),
nekompaktni kvadrika v C^3, Morseho teorie: zaklady - Morseho polynom dominuje Poincareove polynomu, slabe Morseovy nerovnosti
a veta o alternujici sume. Pokracujeme Floerovymi kohomologiemi, formulaci hypotezy o zrcadlite symetrii bez Morseho a Floerovy teorie (lagrangeovske
fibrace), pomoci techto teorii, algebraicka verze: Fukayovy kategorie (znalost derivovanych kategorii na urovni oprednasek M. Markla vitana)
- ZS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK na Karline o ctvrtcich od 16. hodiny;
liche tydny (pocinaje 4.10.07): Supersymetrie a supervariety; sude tydny: Floerovy homologie a zrcadlita symetrie, derivovane kategorie a D-brany, uvod do dzeta funkci
- LS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK o ctvrtcich od 16. hod.; liche tydny: supersymetrie a supervariety; sude tydny
aritmeticky Langlandsuv program.
- ZS 08/09 opet v sem. mist. MUUK o ctvrtcich od 16. h. Pokracujeme v supersymetriich, tentokrate uvazovanych vice fyzikalne; zakladnimi texty jsou Deligneovy texty ze supersymetrickeho roku na Princetonu.
- LS 08/09 opet v sem. mist MUUK o ctvrtcich od 16.h. Prestali jsem cist Deligneovy texty, ktere jsme vlastne cist temer ani nezacali.
Cteme clanek Tsygan, Dolgushev
o formalite (DG-algebry, DGL-algebry, BV-algebry, Gerstenhaberovy algebry a Kontsevichova veta).
Budeme pokracovat ruznymi aspekty deformacniho kvantovani.
- ZS 09/10 opet. v sem. kst. MUUK, ale o stredach v 16.30. Tentokrate se venujeme spise (alespon formou) matematickemu tematu, a sice
Derivovanym kategoriim a jejich aplikacim v teorii ekvivariantnich D-modulu dle Weibela, Bernsteina-Luntse a bruselskych lekci
Schmida, doplnek o kvazikoherentnich svazcich z Poncina.
Cviceni z Matematicke analyzy II LS
Cviceni z matematicke analyzy I ZS 08/09 - neaktualni
Cviceni z matematiky pro fyziky IV (5. semestr) ZS
Doporucuji sbirku/skripta prikladu doc. Kopacka (M pro F V) a ke cteni knihu Cihak a kol. (vydanou v Matfyzpressu) jako referenci,
byt doc. Prazak bude postupovat v jinem poradi a nekdy volit jine pristupy nez tam uvedene. Celkem vhodna je stud.
text prof. Soucka na jeho webu, byt drobne chyby.
- Zacali jsem opakovanim Fourierovy transformace funkci z L^1 a L^2. Musime dodelat tranformaci maticove exponencialy
- gaussovskeho baliku, resp. "vlnove funkce lokalizovane castice"; jde o jisty prechod mezi p a x reprezentaci, ale v kvantovce mate navic i
- tj. tam jde o distribuci, viz pozdeji na cviceni.
- Probrali jsme zaklady Laplaceovy transformace, spocitali priklad na Besselovy funkce (separace p.d.r. vlnoveho typu do
cylidrickych souradnic)
- Nyni pociteme s distribucemi: derivace, nasobeni; bude Fourierova transformace, Gelfandovy distribuce; zrejme
i sfericky symetricke distribuce, meli bychom pocitat s v.p. 1/x distribuci
- Byla: Gama-funkce, dzeta funkce a Mellinova transformace
- Hlavnim tematem bude jeste reseni prisl. parcialek
Cviceni z matematiky pro fyziky II ZS
- Cvici se podle sbirek doc. Kopacka
- k Matematice pro fyziky III
(temata: Lebesgueuv integral, krivkovy a plosny integral)
- k Matematice pro fyziky II
(variacni pocet)
- k Matematice pro fyziky IV (Fourierovy rady) - pokud zbyde cas
Reprezentace Lieovych grup 1 ZS
- Pouzivame knihu Goodman, Wallach: Invariants and Representation theory of Classical Groups
- Odkaz na stranku prof. Goodmana
- a knihu Sternberg: Group theory and physics
- Temata
- Asociativni algebry a jejich reprezentace: jedn., polojedn. alg. a konecne grupy a jejich reprezentace,
abstraktni tvrzeni o dvojitem komutantu
- Schurova dualita pro symetrickou grupu - explicitni realizace reprezentaci symetricke a obecne
linearni grupy bez pouziti teorie nejvyssich vah (Weylovy moduly a Youngovy symetrizatory)
- Rozklady tenzorovych soucinu pro GL (Gelfanduv integralne geometricky pristup) pomoci indukce na symetricke grupe
- [Text prednasky]
Cviceni z linearni algebry II LS
- odkaz na stranky prof. Soucka, kde je mozne nalezt text prednasek
- cvici se podle sbirek:
- Matematika pro fyziky II
- Vyborny a kol: Cvicime lin. algebru
- Vybranym specialnim tematem je Lorentzova grupa, tj. symetrie Specialni teorie relativity;
jeji geometricke a topologicke vlastnosti
- Regulerni temata: vl. cisla, vl. vektory; Jordanuv tvar; kvadraticke formy a jejich normalni tvary; kuzelosecky a jejich klasifikace
Reprezentace Lieovych grup 2 LS 06, LS 07, LS 08
- Pouzivam knihu Dixmier: Enveloping algebras, Knapp: Cohomology of Lie algebras a Vogan: Unitary representations of reductive Lie groups
- Temata:
- 1. Univerzalni obalujici algebra: Poincare-Birkhoff-de Witt teorem, noetherovskost, Nullteilerfreiheit
- 2. Verma moduly (borelsovske): injektivnost homomorfizmu, klasifikace homomorfizmu, Hasseho graf
- 3. Analyticka verze Bott-Borel-Weil vety
- 4. Kostantova verze BBW vety a kohomologie Lieovych algeber
- 5. Pokud zbyde cas, trocha strukturni teorie jednoduchych a parabolickych Lieovych grup a algeber]
- Zkouska: Univ. obal algebra (definice abstraktni a pomoci faktoru tenzorove algebry), PBW teorem, Verma moduly (vlastnosti Verma modulu, injektivnost homomorfizmu a jejich pocet,
BGG teorem pro Bruhatove usporadani),
BBW teorem pro GL(n,C), U(n) (bez reference k komplexifikaci, souvislost s holomorfnosti, holomorfni homogenni vahy na sfere), pro obecnou Borelovu podgrupu (alespon schematicky bez reference k strukturni teorii),
Kohomologie Lieovych algeber (interpretace 1. kohomologie pomoci extenzi, Kostantova veta pro borelovsky pripad)
Reprezentace Lieovych grup 3
Charakterove formule; homogenni symetricke prostory a Satakeho diagramy; duality Schur-Weyl-Howe-Wallachova typu
Reprezentace Lieovych grup 4
Prednaska je postavena na nekt. kapitolach knihy
A. W. Knapp, Represtenations of Lie Groups: On Overview based on Examples (tzv. cerveny Knapp)
Probrali jsme a probereme:
Pojmy: Vsechny admisibilni reprezentace SL(2,R), resp. C;
K-konecne a hladke vektory a vety s nimi souvisejici; Iwasawuv rozklad, Cartanovu involuci, kompaktni a nekompaktni koreny,
Langlandsuv rozklad, indukovane reprezentace; sferecke funkce, Harish-Chandruv prostor S,
"rychle mizet podel sten Weylovych komor".
Vety: irreducibilita holo. pro Sl(2); ireduc. unit. pro sl(2); unitarni irr. ==> admis.; admis. irr. ==> admis.;
Vety "kolem" Gardingovych prostoru; Langladsova veta
Pripravte se na to, ze vse, co bylo predpovezeno (tj. i casti dukazu), muze byt zkouseno.
Ty casti dukazu, ktere jsme neudelali, zkouseny nebudou.
Premyslejte nad datu zkousky - jednotnem, prosim. Zapsanao ma Vitek a Tomas.
Linearni algebra I ZS
- Obecne informace o prednasce, cviceni, zapoctu a zkousce [1]
- Texty pana Psena, Formanka a ostatnich studentu (po me kontrole): [2]
Zapis 12. a 13. prednasky nebyl zkontrolovan
- Gaussova eliminace [3]; rotace [4] oboji od Petra Franka
- Probrana temata
- Vektorovy prostor: zakladni pojmy
- Homomorfizmy vektorovych prostoru
- Vektorove prostory se skalarnim soucinem
- Reseni linearnich rovnic - konkretni (Gaussuv) algoritmus na cvicenich
- Determinanty
- Stopa a ortogonalni projektory
- Zkouska
- Byt se jedna z kapitol textu nazyva "Zbytky", je predmetem zkousky. Dukaz o projektorech nebude zkousen, veta samotna ano.
Veta o tom, ze O(n,R)={A| (Ax,Ax)=(x,x)} je grupa se muze objevit jako cast zkousky.
Nejsou zkouseny pouze probrane vety, ale i jejich drobne aplikace a dusledky, kterymi se zkousi Vase schopnost tvorive porozumet probirane latce
(dukaz o O(n,R) mezi tyto patri).
Veta o stope bude zkousena i s dukazem (napr. s tim ktery jsme probrali).
- Pocetni dovednosti: Gaussova eliminace (dimenze lin. obalu, reseni soustav rovnic, inverzni matice), Gramm-Schmidtova ortonormaliazce, vypocet determinantu (rozvojem, z definice), vypocet inverzni matice pomoci alg. doplnku, vypocet reseni rovnic n x n Cramerovym pravidlem, vypocet ortog. projektoru, matice l.z. vzhledem k bazim.
- Pojmy: Definice v.p., lin. zavislost, generovat, baze, dimenze, matice prechodu, slozky vektoru, linearni zobrazeni, matice linearniho zobrazeni, jadro ( = kernel) a obraz ( = image), rank ( = hodnost),
skalarni soucin (nad R i nad C), ortog. doplnek, soucet vektorovych ptrostoru, direktni soucet vektorovych prostoru, grupa, symetricka ( = permutacni) grupa, znamenko permutace, determinant, alg. doplnek, ortogonalni projektor, stopa.
- Zejmena se jedna o nasl. dulezite vety: Steinitzova, doplneni na bazi, o transformaci slozek vektoru a matice lin. zobrazeni, o jadre a obrazu, Cauchy-Schwartzova veta, trojuhelnikova nerovnost, o ortogonalnim doplnku, Frobeniova,
rank(A)=rank(A^T), vety o permutacni grupe, det(A)=det(A^T), det(AB)=det(A)det(B), rozvoj podle radku/sloupce, Crammerovo pravidlo a vzorec pro inverzi pomoci alg. doplnku.
Diferencialni geometrie krivek a ploch LS 06/07
Temata
- Zakladni vlastnosti afinnich a vektorovych prostoru; opakovani funkci vice promennych.
- Eukleidova geometrie krivek v R^n: Frenetuv reper, Frenetovy rovnice, krivky v R^2 (tecna, normala, krivost), krivky v R^3 (tecna, normala, binormala, krivost, torze).
Veta o shodnosti krivek.
- Eukleidova geometrie ploch v R^3: tecna (nad)rovina, normala, Gaussovo zobrazeni, 1. fundamentalni forma, 2. fundamentalni forma, normalni forma plochy,
hlavni smery krivosti, Gaussova, stredni a hlavni krivost, izometrie, izovolumina, konformni zobrazeni, Gaussova a Codazzi-Meinardiova rovnice,
Gauss-Bonnetuv teorem, Gaussova Theorema Egregium a dusledky, geodetiky a jejich rovnice, paralelni prenos, vektorova pole, primkove plochy, asymptoticke smery.
Literatura
- Klingenberg, W.: A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1978.
- Bures, J., Hrubcik, K.: Diferencialni geometrie krivek a ploch, Karolinum, Praha, 1998.
- Poznamky doc. Rataje
Reprezentace Lieovych grup 2 LS 05
- Pouzivame knihu Goodman, Wallach: Invariants and Representation theory of Classical Groups
- Odkaz na stranku prof. Goodmana
- Temata ke zkousce (navrh):
- 1. Charakterove formule (Weyl, Klimyk, dimenze, Kostant, Freudenthal) - pouziti formuli pro urceni multiplicit vah a rozklad tenzorovych soucinu
- 2. Symetricke prostory - involuce klasickych grup, theta admisibilni vahy, anizotropni tory, Satakeho diagramy, grassmanniany, vlajkove variety, borelovske podgrupy, zobecnene uplne vlajkove variety
- 3. Rozklad afinniho okruhu regularnich funkci afinni variety s akci reduktivni grupy - spektrum afinni variety, jeho charakterizace pro sfericky par a G x G akci na Aff(G)
- 4. Kostant-Rallisuv teorem o separaci promennych vuci reduktivni grupe na invariantni a harmonickou cast (1971) a jeho dusledky (bez dukazu)
- 5. Opakovani: Hilbertuv Nullstellensatz a Basissatz
- 6. Zkouska: jedna veta z 5, tema 2-3, priklad na 1 a pr. Satakeho diagramu vc. theta admisibilni vahy
Cviceni z kalkulu IIb LS
- cvici se podle sbirek doc. Kopacka k
- Matematice pro fyziky IV (funkce komplexni promenne; Laplaceova a Fourierova transformace)
- Matematice pro fyziky II (variacni pocet pro klasicky funkcional)
Proseminar z diferencialni geometrie krivek a ploch LS
- Obsah proseminare je zameren na procvicovani temat probiranych
v odpovidajici prednasce, a to jak rutinnich vypoctu, tak i k dokazovani drobnych tvrzeni; k referatum studentu; a specialnimu tematu, kterym
letos jsou izometrie eukleidovskeho prostoru - popis grupy E(2) a jejich diskretnich podgrup (krystalografie); dokazeme, ze kazda diskretni podgrupa
grupy izometrii, neobsahujici translace je izomorfni dihedralni nebo cyklicke grupe (Leonardo da Vinci - kolem 1500); a bez dukazu
7 frizovych grup a 17 plakatovych grup.
Cviceni z kalkulu IIa ZS
- cvici se podle sbirek doc. Kopacka
- k Matematice pro fyziky III (integralni pocet)
- k Matematice pro fyziky II (extremy funkci vice promennych, konvergence rad a posloupnosti funkci)
- k Matematice pro fyziky IV (Fourierovy rady)
Cviceni z linearni algebry I ZS
- odkaz na stranky prof. Soucka, kde je mozne nalezt text prednasek
- cvici se podle sbirek:
- Matematika pro fyziky II
- Vyborny a kol: Cvicime lin. algebru
- vybranym spc. tematem jsou rotace v R^3, tj. grupa SO(3), vc. jejich topologickych vlastnosti