Obsah jednotlivých přednášek a cvičeníPřednáška č. 1 - 18.2.2025Úvodní informace - o čem a k čemu je komplexní analýza, předpokládané znalosti a prerekvizity, základní informace o zápočtech, zkouškách a literatuře. Dále oddíl I.1 (Těleso komplexních čísel) a většina oddílu I.2 (Komplexní funkce reálné proměnné) - kromě Větičky 2. Přitom důkaz základních vlastností množiny komplexních čísel byl jen stručně zmíněn a důkaz Větičky 1 byl stručně okomentován (podrobné důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce). Cvičení č. 1 - 21.2.2025 (uvádím jen páteční cvičení, které sám vedu) Příklady I/1-4. Přitom příklady 2(a,i) a 3(b) byly podrobně předvedeny, zbylé příklady studenti počítali samostatně. Doporučení pro domácí počítání: Pokud někdo nestihl spočítat Příklady I/1-4, doporučuji zbylé spočítat doma. Přednáška č. 2 - 25.2.2025 Dokončení oddílu I.2 - Větička 2 a její důkaz. Oddíl I.3 (Komplexní funkce komplexní proměnné). Dále oddíl II.1 (Mocninné řady - základní vlastnosti) - do Lemmatu 2 včetně. Věta 3 byla stručně zmíněna a vysvětlena, bude připomenuta ještě příště. Cvičení č. 2 - 28.2.2025 Derivace funkce f(z)=zn podle komplexní proměnné. Příklad 1 z Příkladů pro porozumění látce ke kapitolám I a II. Holomorfní funkce na C, jejichž reálnou částí je funkce Re z. Definice oblasti, základní vlastnosti. Příklady 2-4 z Příkladů pro porozumění látce ke kapitolám I a II. Dále Příklad I/5. Přitom příklady 1-3 a 4(1) byly podrobně předvedeny, příklady 4(2,3) a I/5 studenti počítali samostatně. Přednáška č. 3 - 4.3.2025 Dokončení oddílu II.1 - připomenutí Věty 3 a její důkaz. Dále oddíl II.2 (Elementární celé funkce) - celý. Z Věty 5 byly vlastnosti (1)-(8) jen stručně probrány a okomentovány, vlastnosti (9)-(16) byly dokázány. Dále začátek oddílu II.3 (Logaritmus, argument, obecná mocnina) - definice množiny Log(z) a hlavní hodnoty logaritmu, Věta 6(1,2) včetně příslušných důkazů. Cvičení č. 3 - 7.3.2025 Byly předvedeny příklady 5(1), 6(1), 7, 9 ke Kapitolám I a II (tj. analýza řešení rovnice sin(z)=w a tg(z)=w v závislosti na w∈C a chování funkce exp(1/z) a sin(1/z) v prstencovém okolí nuly). Dále samostatné počítání příkladů I/6,7 a analýzy řešení rovnice cos(z)=w v závislosti na w∈C (tj. příklady 5(2) a 6(2)). Protože některým studentům některé příklady dělaly větší potíže, zde je ke stažení vzorové řešení úloh I/6(a) a I/7(b). Doporučení pro domácí počítání: Zbylé příklady z výše zmíněných a navíc příklad 10. Přednáška č. 4 - 11.3.2025 Dokončení oddílu II.3 - definice argumentu, dále od Věty 5(3) do konce oddílu. Začátek oddílu III.1 (Křivky a křivkový integrál v C) - do Větičky 2 včetně. Přitom vztah křivkového integrálu v C byl jen zmíněn a důkaz bodů (2),(3) z Větičky 1 byl jen stručně okomentován. Cvičení č. 4 - 14.3.2025 Práce s obecnou mocninou - příklady 11(3) a část (4), 13(1) a 14(3) z příkladů k pochopení látky ke kapitolám I a II; početní příklad II/2(b). Dále samostatně příklady II/1,2 a případně příklad 14(1,2,5,6). Doporučení pro domácí počítání: Zbylé příklady z výše zmíněných a navíc příklad 14(4). Přednáška č. 5 - 18.3.2025 Dokončení oddílu III.1 - od Větičky 3 do konce oddílu. Dále začátek oddílu III.2 (Integrály a křivkové integrály závislé na parametru) - Věta 6 včetně větší části důkazu. Cvičení č. 5 - 21.3.2025 Příklady 6 ke kapitole III (funkce Γ), samostatné počítání křivkových integrálů z definice a s použitím primitivní funkce. Přednáška č. 6 - 25.3.2025 Dokončení oddílu III.2 - dokončení důkazu Věty 6 a Věta 7. Dále oddíl III.3 (Spojité větve logaritmu, index bodu ke křivce) - do Poznámky (1) za Větou 11 včetně. Obecný případ Věty 8 dokázán nebyl, jen jednoznačnost a speciální případ. Důkaz obecného případu je k dispozici u textů k přednášce. Cvičení č. 6 - 28.3.2025 Příklady 4 a 5 ke Kapitole III. Poznámky o indexu bodu ke křivce - Jordanova věta, propichovací věta, index jako winding number. Příklad II/3(a), dále samostatně příklady II/3,4. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladů II/3,4 a příklady 7 a 8 ke kapitole III. Přednáška č. 7 - 1.4.2025 Oddíl III.4 (Lokální Cauchyova věta a její důsledky) - do Věty 15 včetně. Poznámka o nalepování byla přeskočena, bude zařazena na cvičení. |