Pro libovolné kladné číslo \(\varepsilon\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé reálné číslo \(x\), které leží v prstencovém \(\delta\)-okolí čísla \(c\) (tj. leží v jeho okolí, ale nerovná se mu) platí, že funkční hodnota funkce \(f\) v bodě \(x\) leží v \(\varepsilon\)-okolí čísla \(A\).
Vlastní limita ve vlastním bodě
Definice
Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c\) limitu \(A\) právě tehdy, když
Značení: \(\lim_{x \to c} f(x) = A\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) je rovna \(A\)
Poznámka
Na obr. 3.1 vidíte graf funkce, bod \(c\) na ose \(x\) a bod \(A\) na ose \(y\).
Kliknutím na šipky můžete změnit "velikost" intervalu \((A - \varepsilon,\, A + \varepsilon)\) a tím se přesvědčit,
že skutečně pro libovolnou hodnotu \(\varepsilon\) (a tedy pro libovolnou šířku vodorovného pruhu
kolem hodnoty \(A\)), existuje vždy číslo \(\delta\) (svislý pruh kolem bodu \(c\)) takové, že funkce \(f\) má
na intervalu \((c - \delta,\, c + \delta)\) všechny funkční hodnoty uvnitř intervalu
\((A - \varepsilon,\, A + \varepsilon)\).
|
|
|
Obr. 3.1: Vlastní limita funkce v bodě
Definice
Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c\) limitu \(A\) zprava právě tehdy, když
Značení: \(\lim_{x \to c^{+}} f(x) = A\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zprava je rovna \(A\)
Poznámka
Pro libovolné kladné číslo \(\varepsilon\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé reálné číslo \(x\), které leží v pravém prstencovém \(\delta\)-okolí čísla \(c\) (tj. leží v jeho pravém okolí, ale nerovná se mu) platí, že funkční hodnota funkce \(f\) v bodě \(x\) leží v \(\varepsilon\)-okolí čísla \(A\).
|
|
|
|
|
Obr. 3.2: Vlastní limita funkce v bodě zprava
Definice
Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c\) limitu \(A\) zleva právě tehdy, když
Značení: \(\lim_{x \to c^{-}} f(x) = A\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zleva je rovna \(A\)
Poznámka
Pro libovolné kladné číslo \(\varepsilon\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé reálné číslo \(x\), které leží v levém prstencovém \(\delta\)-okolí čísla \(c\) (tj. leží v jeho levém okolí, ale nerovná se mu) platí, že funkční hodnota funkce \(f\) v bodě \(x\) leží v \(\varepsilon\)-okolí čísla \(A\).
|
|
|
|
|
Obr. 3.3: Vlastní limita funkce v bodě zleva
Platí pak toto jednoduché tvrzení:
Věta
\(\lim_{x \to c} f(x) = A \iff \lim_{x \to c^{+}} f(x) = A \land \lim_{x \to c^{-}} f(x) = A\)
\(\Leftarrow\)
Lepší pochopení pojmu limita lze získat z následujících grafů funkcí
\(f(x) = x\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.4: \(f(x) = x\)
\(f(x) = x^3\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.5: \(f(x) = x^3\)
\(f(x) = x^2\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.6: \(f(x) = x^2\)
Funkce \(f(x) = \begin{cases}x^{2}&\mathrm{pro}\quad{x \in \{\mathbb{R} \setminus {0}\}}\cr 1&\mathrm{pro}\quad{x = 0}\end{cases}\) je spojitá v 0.
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.7: \(f(x) = \begin{cases}x^{2}&\mathrm{pro}\quad{x \in \{\mathbb{R} \setminus {0}\}}\cr
1&\mathrm{pro}\quad{x = 0}\end{cases}\)
\(f(x) = |x|\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.8: \(f(x) = |x|\)
\(f(x) = e^{x}\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\)
Obr. 3.9: \(f(x) = e^x\)
\(f(x) = \sin x\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.10: \(f(x) = \sin x\)
\(f(x) = \cos x\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\)
Obr. 3.11: \(f(x) = \cos x\)
\(f(x) = \mathrm{tg} x\)
\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Obr. 3.12: \(f(x) = \mathrm{tg} x\)
\(f(x) = \mathrm{sgn} x\)
\(\lim_{x \to 0} f(x)\) neexistuje
\(\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = -1\)
\(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 1\)
Obr. 3.12: \(f(x) = \mathrm{sgn} x\)
