Nevlastní limita ve vlastním bodě

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(+ \infty\) právě tehdy, když

\(\forall K \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}(c,\,\delta) \Rightarrow K \lt f(x)\)

Značení: \(\lim_{x \to c} f(x) = +\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) je rovna \(+ \infty\)

Poznámka

Ke každému kladnému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \gt K\).

Obr. 3.19: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě
Obr. 3.19: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(- \infty\) právě tehdy, když

\(\forall K \lt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}(c,\,\delta) \Rightarrow f(x) \lt K\)

Značení: \(\lim_{x \to c} f(x) = -\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) je rovna \(- \infty\)

Poznámka

Ke každému zápornému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \lt K\).

Obr. 3.20: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě
Obr. 3.20: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(+ \infty\) zprava právě tehdy, když

\(\forall K \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}^{+}(c,\,\delta) \Rightarrow K \lt f(x)\)

Značení: \(\lim_{x \to c^{+}} f(x) = +\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zprava je rovna \(+ \infty\)

Poznámka

Ke každému kladnému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z pravého prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \gt K\).

Obr. 3.21: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě zprava
Obr. 3.21: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě zprava

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(+ \infty\) zleva právě tehdy, když

\(\forall K \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}^{-}(c,\,\delta) \Rightarrow K \lt f(x)\)

Značení: \(\lim_{x \to c^{-}} f(x) = +\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zleva je rovna \(+ \infty\)

Poznámka

Ke každému kladnému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z levého prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \gt K\).

Obr. 3.22: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě zleva
Obr. 3.22: Nevlastní limita \(+ \infty\) ve vlastním bodě zleva

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(- \infty\) zprava právě tehdy, když

\(\forall K \lt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}^{+}(c,\,\delta) \Rightarrow f(x) \lt K\)

Značení: \(\lim_{x \to c^{+}} f(x) = -\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zprava je rovna \(- \infty\)

Poznámka

Ke každému zápornému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z pravého prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \lt K\).

Obr. 3.23: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě zprava
Obr. 3.23: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě zprava

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c \in \mathbb{R}\) limitu \(- \infty\) zleva právě tehdy, když

\(\forall K \lt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x \in \mathrm{P}^{-}(c,\,\delta) \Rightarrow f(x) \lt K\)

Značení: \(\lim_{x \to c^{-}} f(x) = -\infty\)
Čteme: Limita funkce \(f\) pro \(x\) blížící se k \(c\) zleva je rovna \(- \infty\)

Poznámka

Ke každému zápornému číslu \(K\) existuje kladné číslo \(\delta\) takové, že pro každé \(x\) z levého prstencového \(\delta\)-okolí bodu \(c\) je \(f(x) \lt K\).

Obr. 3.24: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě zleva
Obr. 3.24: Nevlastní limita \(- \infty\) ve vlastním bodě zleva

Názornou představu lze získat z následujících grafů funkcí

\(f(x) = \frac {1}{x^2}\)

\(\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\)

Obr. 3.25: f(x) = 1/(x^2).
Obr. 3.25: \(f(x) = \frac {1}{x^2}\)

\(f(x) = \mathrm{tg} x\)

\(\lim_{x \to {\frac {\pi}{2}}^{-}} f(x) = +\infty\) \(\lim_{x \to {\frac {\pi}{2}}^{+}} f(x) = -\infty\)

Obr. 3.26: f(x) = tg(x).
Obr. 3.26: \(f(x) = \mathrm{tg} x\)

\(f(x) = \frac {1}{x}\)

\(\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = -\infty\) \(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty\)

Obr. 3.27: f(x) = 1/x.
Obr. 3.27: \(f(x) = \frac {1}{x}\)

\(f(x) = \frac {2x + 2}{x - 2,5}\)

\(\lim_{x \to {2,5}^{-}} f(x) = -\infty\) \(\lim_{x \to {2,5}^{+}} f(x) = +\infty\)

Obr. 3.28: f(x) = (2x + 2)/(x - 2,5).
Obr. 3.28: \(f(x) = \frac {2x + 2}{x - 2,5}\)