Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(EC\) od roviny \(BGD\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\), musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky platí:
\[\overrightarrow{CE}=(-4;-4;4)\] Normálový vektor roviny \(BGD\) určíme pomocí vektorového součinu směrových vektorů \(\overrightarrow{BD}=(-4;4;0)\), \(\overrightarrow{BG}=(0;4;4)\).
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{BGD}}&=&\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BG}\\
&=&(4\cdot 4-0\cdot 4;0\cdot 0-(-4)\cdot 4;(-4)\cdot 4-4\cdot 0)\\
&=&(16;16;-16)\end{eqnarray*}\] Můžeme nahlédnout:
\[\overrightarrow{n_{BGD}}=k\cdot\overrightarrow{CE}\mbox{, kde }k=-4\] Vektory \(\overrightarrow{n_{BGD}}\), \(\overrightarrow{CE}\) jsou tedy navzájem rovnoběžné, tj. normálový vektor roviny je rovnoběžný s přímkou \(EC\). Protože normálový vektor roviny je kolmý na danou rovinu, tak platí:
\[\varphi=90^\circ\]
Syntetické početní řešení
Přímkou \(EC\) proložíme rovinu \(ACG\), která je kolmá na rovinu \(BGD\). Průnikem rovin \(ACG\), \(BGD\) je přímka \(SG\), kde bod \(S\) je střed úhlopříčky \(BD\).
Odchylka \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\) je tedy rovna odchylce přímek \(EC\), \(SG\). Odchylka odpovídá velikosti úhlu \(EPG\) (označme jej \(\varphi\)),
kde \(P\) je průsečík přímek \(EC\), \(SG\).
Velikosti úhlů \(GEP\), \(EGP\) lze snadno vypočítat, proto k zjištění odchylky \(\varphi\) využijeme součet velikostí úhlů v trojúhelníku.
Velikost úhlu \(GEP\) zjistíme z trojúhelníku \(ECG\) pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle GEP)=\frac{|CG|}{|EG|}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |\angle GEP|\doteq35^\circ 16^{'}\] Velikost úhlu \(EGP\) zjistíme z trojúhelníku \(S_{EG}SG\) též pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle EGP)=\frac{|S_{EG}S|}{|S_{EG}G|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow |\angle EGP|\doteq54^\circ 44^{'}\] Z vlastnosti součtu velikostí úhlů v trojúhelníku, jenž musí být roven \(180^\circ\), dostáváme odchylku \(\varphi\):
\[\varphi=180^\circ-|\angle EGP|-|\angle GEP|=180^\circ-54^\circ 44^{'}-35^\circ 16^{'}\] \[\varphi=90^\circ\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; S\mbox{ je střed úsečky }AC \)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow o; o\perp AC \wedge A\in o\)
\(\mbox{4) } \leftrightarrow p; p\perp AC \wedge C\in p\)
\(\mbox{5) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{6) } l; l(A,|AB|)\)
\(\mbox{7) } E; E\in l\cap o \)
\(\mbox{8) } G; G\in k\cap p\wedge G\in\mbox{ polorovině } ACE\)
\(\mbox{9) } P; \overline{EC}\cap\overline{SG} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(EPG\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\).
Je dán pravidelný šestiboký jehlan \(ABCDEFV\) s podstavou \(ABCDEF\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete odchylku roviny podstavy jehlanu od přímky \(AS_{FV}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný šestiboký jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku \(\varphi\) přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky \(AS_{FV}\) platí:
\[\overrightarrow{AS_{FV}}=(3;\sqrt{3};3)\] Normálový vektor roviny podstavy určíme pomocí vektorového součinu směrových vektorů \(\overrightarrow{AF}=(2;2\sqrt{3};0)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;-2\sqrt{3};0)\).
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{podstava}}&=&\overrightarrow{AF}\times\overrightarrow{AB}\\
&=& \Big(2\sqrt{3}\cdot 0-0\cdot (-2\sqrt{3});0\cdot 2-2\cdot 0;2\cdot (-2\sqrt{3})-2\sqrt{3}\cdot 2\Big)\\
&=& (0;0;-8\sqrt{3})\sim (0;0;1)\end{eqnarray*}\] Nyní již pomocí vztahu pro odchylku přímky od roviny vypočteme hledanou odchylku:
\[\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{podstava}}\cdot\overrightarrow{AS_{FV}}|}{|\overrightarrow{n_{podstava}}||\overrightarrow{AS_{FV}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot(3;\sqrt{3};3)|}{|(0;0;1)|\cdot|(3;\sqrt{3};3)|}\] \[\sin\varphi=\frac{|3|}{1\cdot\sqrt{21}}=\frac{3}{\sqrt{21}}\Rightarrow\varphi\doteq 40^\circ 54^{'}\]
Syntetické početní řešení
Pravoúhlým průmětem bodu \(S_{FV}\) do podstavy je bod \(P\), který je středem úsečky \(FS\).
Poloha bodu \(P\) vyplývá z vlastností středních příček v tojúhelníku \(FSV\). Pravoúhlým průmětem přímky
\(AS_{FV}\) je tedy přímka \(AP\).
Odchylka přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy odpovídá odchylce přímek \(AS_{FV}\), \(AP\). Hledáme tedy nyní velikost úhlu \(S_{FV}AP\).
K výpočtu využijeme trojúhelník \(S_{FV}AP\). Z vlastností středních příček trojúhelníku \(FSV\) plyne:
\[|FP|=|PS|\quad\mbox{ a }\quad|PS_{FV}|=\frac{1}{2}|SV|\] Odchylku \(\varphi\) můžeme tedy vypočítat pomocí goniometrické funkce tangens v trojúhelníku \(S_{FV}AP\), kde \(|AP|\) odpovídá délce výšky v rovnostranném trojúhelníku \(AFS\):
\[\tan\varphi=\frac{|S_{FV}P|}{|AP|}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 40^\circ 54^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidlený šestiúhelník } ABCDEF; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; \overline{AD}\cap\overline{CF}=\{S\}\)
\(\mbox{3) } \triangle ASV\mbox{ dle věty }sus; |SV|=6\mbox{ cm}, |\angle ASV|=90^\circ\)
\(\mbox{4) } \triangle EDV^{'}\mbox{ dle věty }sss; |EV^{'}|=|DV^{'}|=|AV|\)
\(\mbox{5) } S_{V^{'}E}; S_{V^{'}E}\mbox{ je středem strany }V^{'}E\)
\(\mbox{6) } k; k(A,|S_{V^{'}E}D|)\)
\(\mbox{7) } l; l(E,|S_{V^{'}E}D|)\)
\(\mbox{8) } S_{FV}; S_{FV}\in l\cap k \)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{FV}AE\), jež odpovídá odchylce přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy.
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\), musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky platí:
\[\overrightarrow{AS_{BF}}=(4;0;2)\sim (2;0;1)\] Normálový vektor roviny \(EFG\) můžeme určit buď pomocí vektorového součinu směrových vektorů roviny, nebo z vlastností krychle. My jej určíme na základě kolmosti roviny \(EFG\) k bočním hranám krychle.
Pro normálový vektor tedy platí:
\[\overrightarrow{n_{EFG}}=(0;0;-4)\sim (0;0;1)\] Nyní již pomocí vztahu pro odchylku přímky od roviny vypočteme hledanou odchylku:
\[\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{AS_{BF}}\cdot\overrightarrow{n_{EFG}}|}{|\overrightarrow{AS_{BF}}||\overrightarrow{n_{EFG}}|}=\frac{|(2;0;1)\cdot(0;0;1)|}{|(2;0;1)|\cdot|(0;0;1)|}\] \[\sin\varphi=\frac{|1|}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Posunutím přímky \(AS_{BF}\) o vektor \(S_{BF}F\) získáme přímku \(S_{AE}F\). Odchylka přímky
\(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\) odpovídá odchylce přímky \(S_{AE}F\) od roviny \(EFG\).
Odchylka je tedy rovna velikosti úhlu \(S_{AE}FE\), kterou zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|ES_{AE}|}{|EF|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{AE}FE\), jež odpovídá odchylce přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete odchylku roviny \(BS_{CV}D\) od přímky \(SV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Převedeme odchylku přímky od roviny na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou přímky \(SV\), \(SS_{CV}\).
Přímka \(SS_{CV}\) je kolmým průmětem přímky \(SV\) do roviny \(BS_{CV}D\). Přímku \(SS_{CV}\) jsme
získali proložením přímky \(SV\) rovinou \(ACV\). Rovina \(ACV\) je kolmá k rovině \(BS_{CV}D\).
Pro směrové vektory přímek \(SV\), \(SS_{CV}\) platí:
\[\overrightarrow{SV}=(0;0;6)\sim (0;0;1)\quad\mbox{ a }\quad\overrightarrow{SS_{CV}}=(1;1;3)\] Určíme odchylku \(\varphi\) těchto přímek, čímž dostaneme odchylku přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\):
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{SV}\cdot\overrightarrow{SS_{CV}}|}{|\overrightarrow{SV}||\overrightarrow{SS_{CV}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot (1;1;3)|}{|(0;0;1)|\cdot|(1;1;3)|}=\frac{|1\cdot 3|}{1\sqrt{1+1+9}}=\frac{3}{\sqrt{11}}\Rightarrow\varphi\doteq 25^\circ 14^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylka přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\) odpovídá odchylce přímky \(SV\) od jejího kolmého průmětu
do roviny \(BS_{CV}D\). Kolmým průmětem přímky do roviny je přímka \(SS_{CV}\). Přímku \(SS_{CV}\) jsme
získali proložením kolmé roviny \(ACV\) k rovině \(BS_{CV}D\) přímkou \(SV\). Přímka \(SS_{CV}\) je tedy průnikem rovin
\(ACV\), \(BS_{CV}D\).
Odchylku přímek \(SV\), \(SS_{CV}\) určíme pomocí doplňkového úhlu \(S_{CV}SC\) do pravého úhlu. Velikost úhlu \(S_{CV}SC\)
vypočítáme z trojúhelníku \(SS_{CV}X\), kde bod \(X\) je kolmým průmětem bodu \(S_{CV}\) do podstavy jehlanu. Ze středních příček trojúhelníku \(SCV\) plyne:
\[|SX|=|XC|\quad\wedge\quad|S_{CV}X|=\frac{1}{2}|SV|\] Pro velikost úhlu \(S_{CV}SX\) platí:
\[\tan(S_{CV}SX)=\frac{|S_{CV}X|}{|SX|}=\frac{\frac{1}{2}|SV|}{\frac{1}{4}|AC|}=\frac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi\doteq 64^\circ 46^{'}\] Pro velikost úhlu \(VSS_{CV}\) platí:
\[|\angle VSS_{CV}|=90^\circ-|\angle S_{CV}SX|=90^\circ-64^\circ 46^{'}=25^\circ 14^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; S\mbox{ je průsečíkem úhlopříček ve čtverci }ABCD\)
\(\mbox{3) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{4) } V; V\in SD\cap k \)
\(\mbox{5) } S_{CV}; S_{CV}\mbox{ je středem úsečky }CV\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{CV}SV\), čímž jsme dostali odchylku přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\).
