Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(AB\) od přímky \(S_{BF}E\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{S_{BF}E}|}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{S_{BF}E}|}\]
(Vektor \(\overrightarrow{BA}\) je směrovým vektorem přímky \(AB\) a \(\overrightarrow{S_{BF}E}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{BF}E\).)
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{BA}=(-4;0;0),\quad\overrightarrow{S_{BF}E}=(-4;0;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;0)\cdot(-4;0;2)|}{|(-4;0;0)|\cdot|(-4;0;2)|}=\frac{|-4\cdot (-4)|}{\sqrt{(-4)^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+2^2}}=\frac{|16|}{8\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\] Syntetické početní řešení
Přímku \(S_{BF}E\) jsme posunuli o vektor \(S_{BF}B\), čímž jsme získali přímku \(BS_{AE}\).
Přímky \(AB\), \(BS_{AE}\) svírají hledaný úhel \(\varphi\). Pojďme tedy zjistit jeho velikost.
Použijeme goniometrickou funkci tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|AS_{AE}|}{|AB|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{BF}; S_{BF}\mbox{ je střed strany }BF\)
\(\mbox{3) }P; S_{BF}E\cap AB=\{P\}\)
Provedením konstrukce jsme získali úhel \(S_{BF}PB\), jehož velikost je hledanou odchylkou \(\varphi\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(S_{AE}B\), \(S_{BF}G\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BS_{AE}}\cdot\overrightarrow{S_{BF}G}|}{|\overrightarrow{BS_{AE}}||\overrightarrow{S_{BF}G}|}\] Vektor \(\overrightarrow{BS_{AE}}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{AE}B\) a \(\overrightarrow{S_{BF}G}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{BF}G\).
Pro směrové vektory přímek platí: \[\overrightarrow{BS_{AE}}=(-4;0;2),\quad\overrightarrow{S_{BF}G}=(0;4;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek: \[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;2)\cdot(0;4;2)|}{|(-4;0;2)|\cdot|(0;4;2)|}=\frac{|2\cdot 2|}{\sqrt{(-4)^2+2^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{|4|}{4\cdot 5}=\frac{1}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Pro směrové vektory přímek platí: \[\overrightarrow{BS_{AE}}=(-4;0;2),\quad\overrightarrow{S_{BF}G}=(0;4;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek: \[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;2)\cdot(0;4;2)|}{|(-4;0;2)|\cdot|(0;4;2)|}=\frac{|2\cdot 2|}{\sqrt{(-4)^2+2^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{|4|}{4\cdot 5}=\frac{1}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Syntetické početní řešení
Přímku \(S_{BF}G\) jsme posunuli o vektor \(S_{BF}B\), čímž jsme získali přímku \(BS_{CG}\).
Přímky \(S_{AE}B\), \(BS_{CG}\) svírají hledaný úhel o velikosti \(\varphi\).
Pojďme tedy zjistit hledanou ochylku.
V trojúhelníku \(S_{AE}BS_{CG}\) použijeme kosinovou větu:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AE}S_{CG}|^2-|S_{AE}B|^2-|BS_{CG}|^2}{-2|S_{AE}B||BS_{CG}|}\] Pro délky stran trojúhelníku \(S_{AE}BS_{CG}\) platí:
\[\begin{eqnarray*}|S_{AE}S_{CG}|&=&|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\
|S_{AE}B|&=&\sqrt{|AB|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AE|\biggr)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\
|BS_{CG}|&=&|S_{AE}B|=2\sqrt{5}\end{eqnarray*}\] Dosaďme jednotlivé délky úseček:
\[\cos\varphi=\frac{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5})^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{16\cdot 2-4\cdot 5-4.5}{-8\cdot 5}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}\Rightarrow \varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
\(\mbox{3) } k; k(B,|S_{AE}B|)\)
\(\mbox{4) } l; l(S_{AE},|BE|)\)
\(\mbox{5) } S_{CG}; S_{CG}\in l\cap k\)
Provedením konstrukce jsme získali úhel \(S_{AE}BS_{CG}\), jehož velikost odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) přímek \(S_{AE}B\), \(S_{BF}G\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 5\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(AS_{CD}\), \(CV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{CV}\cdot\overrightarrow{AS_{CD}}|}{|\overrightarrow{CV}||\overrightarrow{AS_{CD}}|}\] Vektor \(\overrightarrow{CV}\) je směrovým vektorem přímky \(CV\) a \(\overrightarrow{AS_{CD}}\) je směrovým vektorem přímky \(AS_{CD}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{CV}=(-2;-2;5),\quad\overrightarrow{AS_{CD}}=(2;4;0)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-2;-2;5)\cdot(2;4;0)|}{|(-2;-2;5)|\cdot|(2;4;0)|}\] Vynásobíme vektory po složkách:
\[\cos\varphi=\frac{|(-2)\cdot 2+(-2)\cdot 4+5\cdot 0|}{\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+5^2}\cdot\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{|-12|}{\sqrt{33}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{5}}\Rightarrow\varphi\doteq 62^\circ 9^{'}\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(S_{AB}CV\), kde strana \(S_{AB}C\) vznikne posunem úsečky \(AS_{CD}\) o vektor \(\overrightarrow{S_{CD}C}\).
V trojúhelníku \(S_{AB}CV\) zjistíme velikost úhlu \(S_{AB}CV\) (označme jej \(\varphi\)) pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AB}V|^2-|S_{AB}C|^2-|CV|^2}{-2|S_{AB}C||CV|}\] Protože potřebné délky stran trojúhelníku neznáme, musíme je postupně vypočítat.
Délku strany \(S_{AB}C\) vypočteme z trojúhelníku \(S_{AB}BC\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|S_{AB}C|=\sqrt{|S_{AB}B|^2+|BC|^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\] Délku strany \(CV\) vypočteme z trojúhelníku \(SCV\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|CV|=\sqrt{|SV|^2+|SC|^2}=\sqrt{5^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25+8}=\sqrt{33}\] Délku strany \(S_{AB}V\) vypočteme z trojúhelníku \(S_{AB}SV\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|S_{AB}V|=\sqrt{|SV|^2+|SS_{AB}|^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\] Nyní známe potřebné délky stran a můžeme dosadit do výše uvedené kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AB}V|^2-|S_{AB}C|^2-|CV|^2}{-2|S_{AB}C||CV|}\] \[\cos\varphi=\frac{(\sqrt{29})^2-(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{33})^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{33}}=\frac{29-20-33}{-4\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{33}}=\frac{6}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{33}}\Rightarrow\varphi\doteq 62^\circ 9^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je střed strany }AD\)
\(\mbox{3) } S; S\mbox{ je střed úsečy }AC\)
\(\mbox{4) }\triangle S_{AD}SH\mbox{ dle věty }sus; |\angle S_{AD}SH|=90^\circ \wedge |SH|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{5) }\triangle SCH^{'}\mbox{ dle věty }sus; |\angle CSH^{'}|=90^\circ \wedge |SH^{'}|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{6) } \triangle S_{AB}CV\mbox{ dle věty }sss; |CV|=|CH^{'}|\wedge |S_{AB}V|=|S_{AD}H|\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{AB}CV\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) přímek \(AS_{CD}\), \(CV\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(BE\), \(AH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AH}|}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{AH}|}\] Vektor \(\overrightarrow{BE}\) je směrovým vektorem přímky \(BE\) a \(\overrightarrow{AH}\) je směrovým vektorem přímky \(AH\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{BE}=(-4;0;4),\quad\overrightarrow{AH}=(0;4;4)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;4)\cdot(0;4;4)|}{|(-4;0;4)|\cdot|(0;4;4)|}=\frac{|(-4)\cdot 0+0\cdot 4+4\cdot 4|}{\sqrt{(-4)^2+4^2}\cdot\sqrt{4^2+4^2}}=\frac{|16|}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{32}}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi=60^\circ\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(ACH\), kde strana \(CH\) vznikne posunem úsečky \(BE\) o vektor \(\overrightarrow{EH}\).
Hledaná odchylka přímek tedy odpovídá velikosti úhlu \(AHC\). Trojúhelník \(ACH\) je rovnostranný trojúhelník. Délky jeho stran odpovídají délce stěnové úhlopříčky krychle \(ABCDEFGH\).
Protože trojúhelník \(ACH\) je rovnostranný, dostáváme:
\(|\angle AHC|=60^\circ\)
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \triangle ACH\mbox{ dle věty }sss; |AC|=|CH|=|AH|\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(AHC\), která odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) přímek \(BE\), \(AH\).
