Nutná a postačující podmínka
Uvažujme implikaci \mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}. Výroku \mathbf{A} pak říkáme postačující podmínka pro \mathbf{B}, výroku \mathbf{B} pak říkáme nutná podmínka pro \mathbf{A}. Proč tato pojmenování? Podívejme se na tabulku pravdivostního ohodnocení pro implikaci:
| A | B | A \Rightarrow B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Zaměřme se na řádky tabulky, v nichž je pravdivá implikace \mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}, neboli předpokládejme, že tato implikace je pravdivá (tento předpoklad platí až do konce odstavce, nebudeme na něj již znovu upozorňovat; příslušné řádky jsou vyznačeny modře). Vidíme, že pokud je v těchto řádcích pravdivý výrok \mathbf{A}, je pravdivý i výrok \mathbf{B}. Proto je \mathbf{A} postačující podmínkou pro \mathbf{B} (platí-li \mathbf{A}, postačuje to pro to, abychom mohli říci, že platí i \mathbf{B}). To ovšem nic neříká o situaci, kdy \mathbf{A} není pravdivé. Naopak, podíváme-li se na výrok \mathbf{B}, vidíme, že výrok \mathbf{A} je pravdivý pouze v situaci, kdy je \mathbf{B} také pravdivé. Nastává i situace, kdy \mathbf{B} je pravdivé a \mathbf{A} nikoli. Avšak nenastává situace, kdy by \mathbf{B} bylo nepravdivé a \mathbf{A} bylo pravdivé (to by neplatila implikace a my předpokládáme opak). Proto říkáme, že \mathbf{B} je nutnou podmínkou pro platnost \mathbf{A} (aby platilo \mathbf{A}, musí nutně platit \mathbf{B}; platnost \mathbf{A} však není platností \mathbf{B} zaručena).
Ukažme si vše na konkrétním příkladu. Mějme větu:
\forall (n \in \mathbb{N}): 6\midn \Rightarrow 3\midn
Poznámka: Zápis „m\midn“ říká, že přirozené číslo m dělí přirozené číslo n, neboli číslo n je dělitelné číslem m. Chceme-li naopak zapsat, že nějaké přirozené číslo p nedělí přirozené číslo q, pak využijeme symbol „∤“ a píšeme „p∤q“.
Větu si přečtěme: „Pro každé přirozené n platí: Jestliže číslo 6 dělí n, pak také číslo 3 dělí n.“ Jde o pravdivou implikaci, z dělitelnosti šesti přímo plyne dělitelnost třemi.
Výrok \forall (n \in \mathbb{N}): 6\midn má být postačující podmínkou pro výrok \forall (n \in \mathbb{N}): 3\midn. A je tomu tak. Víme-li o nějakém (libovolně zvoleném) čísle n, že je dělitelné šesti, pak toto číslo musí být dělitelné také třemi. Naopak, dělitelnost čísla n třemi nezaručuje to, že číslo n bude dělitelné šesti. Aby však bylo dělitelné šesti, musí být dělitelné také třemi (jinak dělitelné šesti být nemůže). Dělitelnost čísla n třemi je tedy nutnou podmínkou pro dělitelnost čísla n šesti.
