Ekvivalence
Další obtížnější spojkou je ekvivalence. Pokud výroky \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) spojíme pomocí ekvivalence, čteme takové spojení jedním z následujících způsobů:
- „A právě když B.“
- „A právě tehdy, když B.“
- „A tehdy a jen tehdy, když B.“
- „Výrok A je ekvivalentní s výrokem B.“
- „Výroky A a B jsou ekvivalentní.“
Značení takového spojení je podobné implikaci, ale šipku uděláme oběma směry: \(\mathbf{A}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{B}\).
A co vlastně znamená, že dva výroky jsou ekvivalentní? Stručně řečeno, nemusí být stejné, ale jejich „důsledek“ je stejný. Ukažme si to na příkladu:
- „Česká televize uvede pozítří ve 20:00 film Kolja.“
- „Veřejnoprávní televize v ČR bude pozítří v osm hodin večer vysílat film Kolja.“
Vidíme, že význam obou vět je stejný, jen bylo použito různých synonym. Nemusíme však zůstat u takto jednoduchého příkladu ekvivalence, protože pouhá záměna slov pomocí synonym by nám v matematice mnoho užitku nepřinesla. Ukažme si ještě jinou dvojici výroků.
- „Ludolfovo číslo je iracionální.“
- „Ludolfovo číslo nelze zapsat zlomkem.“
Zaměnili jsme dva termíny, které označují tutéž vlastnost čísla. I tentokrát bychom mohli hovořit o pouhém využití synonym. V matematice můžeme narazit i na podstatně složitější formulace, zatím ovšem nemáme dostatečné znalosti k jejich studiu.
Teď už bychom měli mít alespoň rámcovou představu o významu ekvivalence a můžeme se podívat na její pravdivostní ohodnocení:
Definice
Ekvivalence je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo když jsou oba výroky nepravdivé.Tabulka pravdivostních hodnot ekvivalence
| \(\mathbf{A}\) | \(\mathbf{B}\) | \(\mathbf{A}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{B}\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Z tabulky je dobře vidět, že u ekvivalence (stejně jako u konjunkce a disjunkce) je možné zaměnit pořadí výroků. Jedinou spojkou, se kterou jsme se zatím seznámili a u které je nutné dbát na pořadí výroků, je implikace.
