Kombinatorika

Počet bodů za otázku: 3

Otázka

Přiřaďte k sobě kombinatorické pojmy s jejich vyjádřeními.

Možnosti

Permutace $n$ prvků

$k$-členná variace z $n$ prvků

$k$-členná kombinace z $n$ prvků

Přiřazení

$$ \frac{n!}{k!} $$
$$ n! $$
$$ \frac{n!}{(n-k)!} $$
$$ \frac{n!}{k!\,(n-k)!} $$

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Přiřaďte příklady použití variace s opakováním, permutace s opakováním a kombinace s opakováním k názvům.

Možnosti

Variace s opakováním

Permutace s opakováním

Kombinace s opakováním

Přiřazení

Počet způsobů, kterými můžeme rozdělit $10$ stejných kuliček do pěti sáčků
Počet čtyřciferných čísel sestavených z číslic $2, 4, 6$ tak, že se každá číslice může v čísle libovolně opakovat
Počet způsobů, kterými je možné vytvořit řadu z deseti stejných žlutých žetonů, pěti stejných zelených žetonů a tří stejných černých žetonů

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Zjednodušte: $$ {10 \choose 0} + {10 \choose 1} + {10 \choose 2} + \ldots {10 \choose 9} + {10 \choose 10} $$
Možnosti: $$ {11 \choose 5} $$

$$ 10! $$

$$ 10! + 9! + 8! + \ldots 2! + 1! $$

$$ 2^{10} $$

$$ 10^2 $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Karel a Petr spolu hráli piškvorky na čtvercové síti o velikosti 3 x 3 políčka. Začínal Karel nakreslením kolečka. Na konci hry byl na každém políčku křížek nebo kolečko. Kolika různými způsoby může vypadat rozmístění křížků a koleček po čtvercové síti?

Na čtvercovou síť se po celou dobu díváme z jedné strany.

Odpověď

Poznámka

Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Ve školní jídelně se řadí žáci do fronty. Všech $23$ žáků přišlo zároveň a do fronty se seřadili v náhodném pořadí.

Zaškrtněte všechna pravdivá tvrzení.

Možnosti

Počet možností, jak se mohli žáci seřadit, je roven $23!$.

Počet možností, jak se mohli seřadit, je roven $23$-členné variaci z $23$ prvků.

Počet možností, jak se mohli seřadit, je roven $23$-členné kombinaci z $23$ prvků.

Počet možností, jak se mohli žáci seřadit, je roven ${23 \choose 0}$.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Určete, kolika způsoby je možné rozdělit $9$ stejných časopisů a $7$ stejných knih mezi $4$ čtenáře. Každý čtenář může mít po rozdělení libovolné množství časopisů a knih.
Možnosti: $$ \frac{20!}{9!\,7!\,4!} (= 55\,426\,800)$$

$${12 \choose 9} + {10 \choose 7} (= 340)$$

$${12 \choose 9} \cdot {10 \choose 7} (= 26\,400)$$

$$ 4^9 + 4^7 (= 278\,528)$$

$$ 4^9 \cdot 4^7 (= 4\,294\,967\,296)$$

$$ {16 \choose 4} (= 1\,820) $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Seřaďte následující čísla podle velikosti od největšího po nejmenší.
Možnosti: $$ { 10 \choose 6 } $$

$$ { 10 \choose 5 } $$

$$ { 10 \choose 0 } $$

$$ { 10 \choose 2 } $$
Poznámka: Do polí vedle možností vyplňte čísla od 1 do 4 podle pořadí prvků.

Kombinatorika

Souhrnný test

Titulní strana

Úvod

Základní kombinatorická pravidla

Variace, permutace, kombinace

Variace, permutace, kombinace s opakováním

Kombinační čísla

Souhrnný test

Literatura a zdroje