Souřadnice vrcholu paraboly
Nyní je třeba splnit dluh ze začátku kapitoly a osvětlit, jak jsme přišli k průsečíku osy paraboly s osou \(x\) a zároveň kde se vzalo číslo omezující obor hodnot.
Souřadnice vrcholu paraboly si označíme takto \(V=[x_0,y_0]\). Když si předpis pro kvadratickou funkci
\(y=ax^2+bx+c\)
pomocí doplnění na čtverec vyjádříme ve tvaru
\(y-y_0=a(x-x_0)^2\),
pak máme vyhráno a známe souřadnice vrcholu paraboly. Důvod, proč \(x_0\) a \(y_0\) jsou souřadnice vrcholu paraboly, je následující. Z grafu je zřetelné, že ve vrcholu je minimum pro \(a > 0\) a maximum pro \(a < 0\). Zaměříme-li se na případ, kdy je \(a > 0\), pak hledáme, pro jakou hodnotu \(x\) nabývá \(y\) minimální hodnoty. Upravenou rovnici dále upravíme na tvar
\(y=a(x-x_0)^2+y_0\),
pak je jasné, že pravá strana bude minimální tehdy, když výraz \((x-x_0)^2\) bude mít nulovou hodnotu. Výraz \((x-x_0)^2\) bude nulový právě tehdy, když \(x=x_0\), pak \(y=y_0\).
Vyjdeme z předpisu
\(y=ax^2+bx+c\),
doplněním na čtverec získáme tvar
\(y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\).
Převedením na společného jmenovatele
\(y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\),
odečtením \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) od obou stran získáme
\(y-\frac{4ac-b^2}{4a}=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\).
Což už je téměř tvar, ke kterému se chceme dostat - stačí jen malá úprava
\(y-\frac{4ac-b^2}{4a}=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2\).
Souřadnice vrcholu paraboly snadno odečteme z poslední rovnice.
\(V=\left[\frac{-b}{2a};\frac{4ac-b^2}{4a}\right]\),
po přepsání do vhodnějšího tvaru.
Souřadnice vrcholu paraboly: \(V=\left[-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}\right]\).
Teoretické poznatky zkusíme aplikovat na konkrétním příkladu. Máme dán předpis kvadratické funkce
\(f:y=2x^2-3x+1\).
Co v tuto chvíli víme o této funkci:
- koeficient \(a\) je kladný - proto bude parabola 'otevřená' nahoru
- osu \(y\) protne graf této funkce v bodě o \(y\)-ové souřadnici 1
- koeficienty \(a\), \(b\) mají různá znaménka, vrchol paraboly bude napravo od osy \(y\)
Použijeme výše popsaný postup:
\(f:y=2x^2-3x+1\)
\(y=2\left(x+\frac{-3}{4}\right)^2-\frac{9}{8}+1\)
\(y=2\left(x+\frac{-3}{4}\right)^2-\frac{8-9}{8}\)
\(y+\frac{1}{8}=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2\)
\(V=[\frac{3}{4};-\frac{1}{8}]\)
pro sestrojení grafu této funkce si vypočteme souřadnice několika bodů ležících na grafu.
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{3}{4}\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(1\) | \(-\frac{1}{8}\) | \(3\) |
