Mocninné funkce s racionálním exponentem
Jestliže máme definovány mocninné funkce, kde je exponent ve tvaru \(n=\frac{1}{m}\), je na místě otázka, zda exponent ve tvaru zlomku může mít v čitateli jiné číslo než jedničku. Ukažme si to nejprve na příkladu.
\(2^4=16\)
\(4=\sqrt[2]{16}=16^{1/2}=2^{4\cdot1/2}=2^2=4\)
Pomocí podobných pravidel jako v případě přirozených exponentů můžeme definovat mocninné funkce pro obecné racionální exponenty.
Pro \(x,x_1,x_2\in(0;\infty)\) a \(r,s\in\mathbb Q\) platí:
\(x^r\cdot x^s=x^{r+s}\)
\((x^r)^s=x^{r\cdot s}\)
\(\frac{x^r}{x^s}=x^{r-s}\)
\(\left( x_1\cdot x_2 \right)^r=x_1^r\cdot x_2^r\)
\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^r=\frac{x_1^r}{x_2^r}\)
Definice
Pro každé kladné reálné číslo \(x\), pro každé celé, nenulové číslo \(l\) a pro každé přirozené číslo \(m\) je
\(x^{l/m}=\sqrt[m]{x^l}\).
V následujícím appletu je možno ověřit vliv racionálního exponentu na průběh grafu mocninné funkce. Budete-li pohybovat posuvníkem, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf. Po kliknutí na zoufalého smajlíka se zobrazí, jaký vliv má exponent.
| Vliv exponentu \(n\) |
 |
