Funkce

Z výkladu víme, že mocninná funkce s přirozeným - sudým exponentem je sudá. Zároveň víme, že graf této funkce musí procházet body o souřadnicích $[1;1]$ a $[-1;1]$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	-1,4	-1	-0,6	0,6	1	1,4
$f(x)$	3,8	1	0,1	0,1	1	3,8

Z výkladu víme, že mocninná funkce s přirozeným - lichým exponentem je lichá. Zároveň víme, že graf této funkce musí procházet body o souřadnicích $[1;1]$ a $[-1;-1]$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	-1,1	-1	-0,9	0,9	1	1,1
$f(x)$	-1,9	-1	-0,5	0,5	1	1,9

Z výkladu víme, že $\sqrt{x}=x^{1/2}$. Máme tedy nakreslit graf funkce $f:y=x^{1/2}$. Definiční obor mocninných funkcí tohoto typu je $\langle 0;\infty)$, zároveň je to inverzní funkce k funkci $g:y=x^2$ s omezeným definičním oborem na $D(g)=\langle 0;\infty)$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	0,5	1	2	4
$f(x)$	0,7	1	1,4	2

Z výkladu víme, že $\sqrt[7]{x}=x^{1/7}$. Máme tedy nakreslit graf funkce $f:y=x^{1/7}$. Dále víme, že definiční obor mocninných funkcí tohoto typu je $\langle 0;\infty)$, zároveň také, že je to inverzní funkce k funkci $g:y=x^7$ s omezeným definičním oborem na $D(g)=\langle 0;\infty)$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	0,5	1	2	5
$f(x)$	0,9	1	1,1	1,3

Z výkladu víme, že mocninná funkce s celým, záporným a lichým exponentem je lichá. Zároveň víme, že graf této funkce musí procházet body o souřadnicích $[1;1]$ a $[-1;-1]$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	-2	-1	-0,5	0,5	1	2
$f(x)$	-0,5	1	2	2	1	0,5

Z výkladu víme, že mocninná funkce s celým, záporným a sudým exponentem je sudá. Zároveň víme, že graf této funkce musí procházet body o souřadnicích $[1;1]$ a $[-1;1]$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	-2	-1	-0,71	0,71	1	2
$f(x)$	0,25	1	2	2	1	0,25

Z výkladu víme, že $\frac{1}{x^7}=x^{-7}$, máme tedy nakreslit graf funkce $f:y=x^{-7}$. Mocninná funkce s celým, záporným a lichým exponentem je lichá. Zároveň víme, že graf této funkce musí procházet body o souřadnicích $[1;1]$ a $[-1;-1]$. Pro zvyšující se absolutní hodnotu exponentu se tato mocninná stále více 'přimyká' k ose $x$. Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat přibližné souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.

$x$	-1,2	-1	-0,9	0,9	1	1,2
$f(x)$	-0,3	-1	-2,1	2,1	1	0,3

Jedná se o funkční hodnoty funkce $f:y=x^3$, kde je exponent přirozený lichý. O funkcích s exponentem přirozeným lichým víme, že jsou rostoucí na celém definičním oboru. Pro menší argument nabývá $f$ menší funkční hodnoty. Výrok je tedy pravdivý.

Jedná se o funkční hodnoty funkce $f:y=x^4$, kde je exponent přirozený sudý. O funkcích s exponentem přirozeným sudým víme, že jsou sudé. To znamená, že tento výrok můžeme převést na $(1,2)^4<(0,8)^4$. Jak víme, mocninné funkce s přirozeným sudým exponentem jsou na intervalu $\langle 0;\infty)$ rostoucí. Pro menší argument je menší funkční hodnota. Výrok je tedy nepravdivý.

Jedná se o funkční hodnoty funkce $f:y=x^{-3}$, kde je exponent celý, záporný a lichý. Víme, že toto je funkce lichá, klesající na intervalu $(-\infty;0)$ a na intervalu $(0;\infty)$. Oba zadané argumenty jsou z intervalu $(0;\infty)$. Pro větší argument nabývá $f$ menší funkční hodnoty. Výrok je tedy pravdivý.

Jedná se o funkční hodnoty funkce $f:y=x^{-6}$, kde je exponent celý, záporný a sudý. O funkcích s exponentem celým, záporným a sudým víme, že jsou sudé. To znamená, že tento výrok můžeme převést na $(2,6)^{-6}>(1,7)^{-6}$. Jak víme, mocninné funkce s celým, záporným a sudým exponentem jsou na intervalu $(0;\infty)$ klesající. Pro větší argument nabývá $f$ menší funkční hodnoty. Výrok je tedy nepravdivý.

Jedná se o funkční hodnoty funkce $f:y=x^{1/2}$. O této funkci víme, že je na definičním oboru rostoucí. Pro větší argument nabývá $f$ větší funkční hodnoty. Výrok je tedy nepravdivý.

Nejprve si vyjádříme funkci, která vyjadřuje závislost objemu kostky $V$ (v $\mathrm{cm}^3$) na délce $a$ (v $\mathrm{cm}$) její hrany

$f:V=a^3$.

Dále si vyjádříme funkci, která vyjadřuje závislost hmotnosti kostky $m$ (v $g$) na objemu dané kostky $V$ (v $\mathrm{cm}^3$)

$g:m=\varrho\cdot V$.

Jestliže složíme funkce $f$ a $g$

$h=g\circ f$

dostaneme požadovanou funkci

$h:m=\varrho\cdot a^3=0,6\cdot a^3$.

Závěr
Funkce, která vyjadřuje závislost hmotnosti $m$ kostky na délce $a$ její hrany je $h:m=\varrho\cdot a^3=0,6\cdot a^3$.

Zde postačí vypočítat funkční hodnotu pro argument 4 $\mathrm{cm}$ funkce $h$ z minulého bodu.

$h(4)=38,4$

Závěr
Kostka, jejíž hrana měří 4 $\mathrm{cm}$, má hmotnost 38,4 $\mathrm{g}$.

Zde postačí vyjádřit funkci $h$ pro délku hrany $a$ a pro délku hrany $2a$:

$h(a)=0,6\cdot a^3$
$h(2a)=0,6\cdot(2a)^3=0,6\cdot 8\cdot a^3$

Odkud je jasně vidět, že hmotnost kostky se zvětší osmkrát.

Závěr
Jestliže zdvojnásobíme hranu kostky, pak se její hmotnost zvětší osmkrát.

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$2^2\cdot2^3\cdot2^4=2^{2+3+4}=2^9$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$3^7\cdot3^4\cdot3^5=3^{7+4+5}=3^{16}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$4^2\cdot2^4\cdot8^3=(2^2)^2\cdot2^4\cdot(2^3)^3=2^4\cdot2^4\cdot2^9=2^{4+4+9}=2^{17}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$3^2\cdot9^6\cdot27^5=3^2\cdot(3^2)^6\cdot(3^3)^5=3^2\cdot3^{12}\cdot3^{15}=3^{2+12+15}=3^{29}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$x^3\cdot x^2\cdot x=x^{3+2+1}=x^6$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[4]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{6}}=x^{\frac{4}{12}}\cdot x^{\frac{3}{12}}\cdot x^{\frac{2}{12}}=x^{\frac{9}{12}}=x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x^2}=x^2\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{12}{6}}\cdot x^{\frac{3}{6}}\cdot x^{\frac{4}{6}}=x^{\frac{19}{6}}=\sqrt[6]{x^{19}}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$\frac{x^2}{x^7}=x^2\cdot x^{-7}=x^{2-7}=x^{-5}=\frac{1}{x^5}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[9]{x}}=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{-\frac{1}{9}}=x^{\left(\frac{3}{9}-\frac{1}{9}\right)}=x^{\frac{2}{9}}=\sqrt[9]{x^2}$

Podle pravidel, která byla uvedena ve výkladu, dostaneme postupným upravováním:

$\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[2]{x^9}}=x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{-\frac{9}{2}}=x^{\frac{2}{10}-\frac{45}{10}}=x^{-\frac{43}{10}}=\frac{1}{\sqrt[10]{x^{43}}}$