Processing math: 2%

Funkce exponenciální

V kapitole o kvadratických funkcích jsme se setkali s typem funkcí, kde argument funkce x byl mocněnec a mocnitelem bylo číslo 2, f:y=x^2. U exponenciálních funkcí je argument jako mocnitel, mocněnec je v tomto případě kladné číslo různé od 1 označované a.

Definice

Exponenciální funkce o základu a je každá funkce f na množině \mathbb R vyjádřená ve tvaru

f:y=a^x,

kde a je kladné číslo různé od 1.

Poznámka

V případě, že a=1, pak by se nejednalo o exponenciální, ale o konstantní funkci.

V následujícím appletu je možné ověřit vliv základu a na výsledný graf exponenciální funkce. Budete-li pohybovat posuvníkem, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf. Po kliknutí na zoufalého smajlíka se zobrazí, jaký vliv má základ a.

Vliv základu a Zobrazit řešení

Poznámka

Všimněte si, že graf funkce prochází bodem o souřadnicích [1;a], resp. [-1;\frac{1}{a}].

Poznámka

Kdybychom si v průsečíku grafu exponenciální funkce s osou y představili jeho tečnu pak, podobně jako u kvadratické funkce, se na tuto tečnu můžeme dívat jako na další funkci např. g. Rovnice této funkce je g:y=\ln a\cdot x+1 (kde \ln je přirozený logaritmus a dozvíme se o něm v následujícím odstavci).

Poznámka

Určité výlučné postavení mezi základy má číslo e nazývané Eulerovo číslo. Jeho přibližná hodnota je

e\ \dot{=}\ 2{,}718\ 281\ 828.

Exponenciální funkce, jejímž základem je číslo e, se nazývá přirozená exponenciální funkce. Jedinečnou vlastností exponenciální funkce se základem e je, že rovnice tečny grafu v průsečíku s osou y je g:y=x+1.

Exponenciální funkce

Podle toho, jaká je tečna grafu v průsečíku s osou y v porovnání s přímkou y=x+1, můžeme odhadnout, jestli základ této exponenciální funkce bude menší, anebo větší než číslo e.

Mohli bychom se také zajímat o to, pro jakou hodnotu základu by tečna měla rovnici g:y=-x+1. Tento základ je převrácená hodnota Eulerova čísla a jeho přibližná hodnota je

\frac{1}{e}\ \dot{=}\ 0,367\ 879\ 441.