Posloupnosti a řady

Zapište pomocí sumy \(5 + 7 + 9 + 11 + \ldots + 27 =\)

• Postup je alespoň na začátku podobný, jako u určování vzorce pro \(n\)-tý člen posloupnosti zadané výčtem hodnot.
• Členy této řady tvoří konečnou aritmetickou posloupnost s prvním členem \(5\) a diferencí \(2\).
• \(\sum_{k = 1}^{12} 2k + 3\)

Zapište pomocí sumy \(-1 + 2 -4 + 8 - 16 + \ldots - 1024 =\)

• Postup je alespoň na začátku podobný, jako u určování vzorce pro \(n\)-tý člen posloupnosti zadané výčtem hodnot.
• Členy této řady tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem \(-1\) a kvocientem \(-2\).
• \(\sum_{k = 1}^{11} (-1)^k \cdot 2^{k - 1}\)

Vypočítejte \(\sum_{i = 1}^{20} i^2 - \sum_{j = 1}^{15} j^3 = \)

• \(= {20 \over 6}(20 + 1)(2 \cdot 20 + 1) - {15^2 \over 4}(1 + 15)^2 =\)
• \(= {10 \over 3}\cdot 21 \cdot 41 - {225 \over 4} \cdot 196 = \)
• \(= 2870 - 11025 = -8155\)

Vypočítejte \(\Bigg (\sum_{i = 1}^{20} i\cdot2 \Bigg)^2 + \sum_{i = 1}^{20} i \cdot 2^2 = \)

• \(= 2^2 \Bigg( \sum_{i = 1}^{20} i \Bigg )^2 + 2^2 \sum_{i = 1}^{20} i =\)
• \(= 4 \cdot {20^2 \over 4}(1 + 20)^2 + 4 \cdot {20 \over 2} (1 + 20) = \)
• \(= 400 \cdot 21^2 + 40 \cdot 21 = 177240\)

U nekonečné geometrické řady určete první člen a kvocient. Rozhodněte, zda je daná řada konvergentní a pokud ano, určete její součet. \({3 \over 2} + {3 \over 4} + {3 \over 8} + {3 \over 16} + \ldots\)

• Nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, když pro její kvocient \(q\) platí: \(|q| \lt 1\).
• \(a_1 = {3 \over 2}\), \(q = {1 \over 2}\)
• Protože \(|q| \lt 0\), je řada konvergentní a má tedy součet.
• \({3 \over 2} + {3 \over 4} + {3 \over 8} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} {3 \over 2} \cdot \Bigg ({1 \over 2} \Bigg)^{n - 1}\)
• \({3 \over 2} \cdot {1 \over {1 - {1 \over 2}}} = {3 \over 2} \cdot {2 \over 1} = 3\)

U nekonečné geometrické řady určete první člen a kvocient. Rozhodněte, zda je daná řada konvergentní a pokud ano, určete její součet. \(\sum_{i = 1}^{\infty} (-1)^i \cdot \Bigg ({2 \over 3} \Bigg)^{2 - i}\)

• Nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, když pro její kvocient \(q\) platí: \(|q| \lt 1\).
• \(a_1 = -{2 \over 3}\), \(q = -{3 \over 2}\)
• Protože \(|q| \gt 0\), řada je konvergentní a nemá tedy součet.

Určete, pro která reálná \(x\) je daná řada konvergentní a určete její součet. \(x + 4 + (x + 4)^2 + (x + 4)^3 + \ldots\)

• \(a_1 = x + 4\), \(q = x + 4\)
• \(|x + 4| \lt 1\)
• \(x \in (-5; -3)\)
• Součet řady je:
  \(s = x + 4 + (x + 4)^2 + (x + 4)^3 + \ldots \quad x \in (-5; -3)\)
• \(= (x + 4) \cdot {1 \over {1 - (x + 4}} = - {{x + 4} \over {x + 3}}\)

Určete, pro která reálná \(x\) je daná řada konvergentní a určete její součet. \(\sum_{i = 1}^{\infty} x^{-2i}\)

• \(a_1 = {1 \over {x^2}}\), \(q = {1 \over {x^2}}\)
• \(\Bigg|{1 \over x^2}\Bigg| \lt 1\)
• \({1 \over {x^2}} \lt 1\)
• \(x^2 \gt 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\)
• \(s = \sum_{i = 1}^{\infty} x^{-2i} \quad x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\)
• \(= {1 \over x^2} \cdot {1 \over {1 - {1 \over x^2}}} = {1 \over x^2} \cdot {x^2 \over {x^2 - 1}} = {1 \over {x^2 - 1}}\)

Řešte rovnici \(2 - 4x + 8x^2 - \ldots = 1\)

• Levou stranu rovnice tvoří nekonečná geometrická řada, pro kterou
  \(a_1 = 2\), \(q = -2x\)
• Aby řada byla konvergentní a měla tedy součet, musí platit
  \(|-2x| \lt 1 \Rightarrow x \in \Bigg(-{1 \over 2}; {1 \over 2} \Bigg )\)
• \(s = 2 - 4x + 8x^2 - \ldots = 2 \cdot {1 \over {1 + 2x}}\)
• Rovnici můžeme přepsat pomocí nalezeného součtu\({2 \over {1 + 2x}} = 1 \quad x \in \Bigg(-{1 \over 2}; {1 \over 2} \Bigg )\)
• \(2 = 1 + 2x\)
  \(x = {1 \over 2}\)
• \(x = {1 \over 2}\) není řešením původní rovnice, protože nepatří do intervalu \((-{1 \over 2}; {1 \over 2} )\)
  \(K = \{\}\)

Řešte rovnici \((x + 1)\cdot \sum_{i = 1}^{\infty} (x + 2)^i = {{3x + 2} \over 5}\)

• Součástí levé strany rovnice je nekonečná geometrická řada, kde
  \(a_1 = x + 2\), \(q = x + 2\)
• Aby řada byla konvergentní a měla tedy součet, musí platit
  \(|x + 2| \lt 1 \Rightarrow x \in (-3; -1)\)
• \(s = \sum_{i = 1}^{\infty} (x + 2)^i = (x + 2) \cdot {1 \over {1 - (x + 2)}} = - {{x + 2} \over {x + 1}}\)
• Rovnici můžeme přepsat pomocí nalezeného součtu\((x + 1) \cdot \Bigg(-{{x + 2} \over {x + 1}} \Bigg ) = {{3x + 2} \over 5} \quad x \in (-3; -1)\)\(-(x + 2) = {{3x + 2} \over {5}}\)\(-8x = 12\)
  \(x = -{3 \over 2}\)
• \(K = \{-{3 \over 2}\}\)

"Nekonečná" spirála se skládá z polokružnic, poloměr první polokružnice je \(6\)cm, poloměr každé další polokružnice je o \({1 \over 3}\) menší než poloměr polokružnice předcházející. Vypočítejte délku spirály.

• 

  Obrázek k úloze
• Délka půlkružnice: \(d = \pi \cdot r\)
  \(d_1 = \pi \cdot 6\)
  \(d_2 = \pi \cdot {2 \over 3} \cdot 6 = {{12} \over 3} \pi\)
  \(d_3 = \pi \cdot {2 \over 3} \cdot {{12} \over 3} = {{24} \over 9} \pi\)
  \(d_4 = \pi \cdot {2 \over 3} \cdot {24 \over 9} = {48 \over 27} \pi\)
  \(d_5 = \pi \cdot {2 \over 3} \cdot {48 \over 27} = {96 \over 81} \pi\)
  \(dots\)
• Délka spirály bude: \(d_s = d_1 + d_2 + d_3 + \ldots = 6\pi + {12 \over 3} \pi + {48 \over 27} \pi + {96 \over 81} \pi + \ldots = \)
• \(a_1 = 6 \pi\), \(q = {2 \over 3}\)
• \(= 6 \pi \cdot {1 \over {1 - {2 \over 3}}} = {{6 \pi} \over {1 \over 3}} = 18 \pi\)
• Délka spirály je \(18\pi\) cm.

Vypočítejte délku "nekonečné" lomené čáry, která se skládá z úseček \(B_1 B_2\), \(B_2 B_3\), \(B_3 B_4\), \(B_4 B_5\), \(\ldots\) . Souřadnice krajních bodů úseček jsou: \(B_1 [1; 0]\), \(B_2 [1;1]\), \(B_3 [0;1]\), \(B_4 [0; {1 \over 2}]\), \(B_5 [{1 \over 2}; {1 \over 2}]\), \(B_6 [{1 \over 2}; {3 \over 4}]\), \(B_7 [{1 \over 4}; {3 \over 4}]\), \(\ldots\)

• 

  Obrázek k úloze
• Označme si \(d_i\) délku úsečky \(B_i B_{i + 1}\)
  \(d_1 = 1 \quad d_2 = 1 \longrightarrow 2 \cdot 1\)
  \(d_3 = {1 \over 2} \quad d_4 = {1 \over 2} \longrightarrow 2 \cdot {1 \over 2}\)
  \(d_5 = {1 \over 4} \quad d_5 = {1 \over 4} \longrightarrow 2 \cdot {1 \over 4}\)
  \(d_7 = {1 \over 8} \quad d_7 = {1 \over 8} \longrightarrow 2 \cdot {1 \over 8}\)
  \(d_9 = {1 \over 16} \quad \ldots\)
• Délka lomené čáry bude: \(d_s = (d_1 + d_2) + (d_3 + d_4) + \ldots = 2 \cdot 1 + 2 \cdot {1 \over 2} + 2 \cdot {1 \over 4} + 2 \cdot {1 \over 8} + \ldots = \)
• \(a_1 = 2\), \(q = {1 \over 2}\)
• \(= 2 \cdot {1 \over {1 - {1 \over 2}}} = {2 \over {1 \over 2}} = 4\)
• Délka lomené čáry je \(4\) cm.