Posloupnosti a řady

---

Sporem
Pro spor budeme předpokládat, že existuje posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\), která má dvě různé limity, tedy

\(\lim a_n = A\) a \(\lim a_n = B\), kde \(A \not= B\).

Dále budeme předpokládat, že \(A \lt B\)
Z definice víme, že

\(\forall \varepsilon_{A} \gt 0 \quad \exists n_{A} \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_{A}\) platí \(|a_n - A| \lt \varepsilon_A\)
\(\forall \varepsilon_{B} \gt 0 \quad \exists n_{B} \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_{B}\) platí \(|a_n - B| \lt \varepsilon_B\)

Oba tyto výroky musí platit pro všechna \(\varepsilon\), tedy i pro \(\varepsilon_A = \varepsilon_B = {1 \over 3} \cdot |B - A|\)


Položíme-li \(n_0 = \max(n_{A}, n_{B})\), pak tedy pro všechna \(n \ge n_0\) musí \(a_n\) "ležet" zároveň v červeném i modrém pásu.

---

Předpokládejme, že posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je konvergentní a platí

\(\lim a_n = A\)

Z definice plyne

\(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_0\) platí \(|a_n - A| \lt \varepsilon\)

Z čísel \(a_i, \, i = 1 \ldots n_{0} - 1\) najdeme minimum \(d\) a maximum \(h\).


Pro každé přirozené \(n\) bude platit

\(a_n \ge \min(A - \varepsilon, d) \wedge a_n \le \max(A - \varepsilon, h)\)

---

Z definice

\(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_0\) platí \(|a_n - A| \lt \varepsilon\)

Chceme tedy ukázat, že k libovolnému \(\varepsilon\) najdeme takové \(n_0\), že pro všechny členy posloupnosti \(a_n = {1 \over n}\), \(n_0\)-tým členem počínaje bude platit

\(|{1 \over n} - 0| \lt \varepsilon\)
\({1 \over n} \lt \varepsilon\)
\(n \gt {1 \over \varepsilon}\), tedy pro dané \(\varepsilon\) vždy najdeme takové \(n_0\) a to například \(n_0 = {1 \over \varepsilon} + 1\)

Druhý vztah se dokáže podobně.

---

Z definice
\((a_n)\) a \((b_n)\) jsou konvergentní posloupnosti a \(\lim a_n = A\) a \(\lim b_n = B\), z definice tedy plyne

\(\forall \varepsilon_A \gt 0 \quad \exists n_A \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_A\), platí \(|a_n - A| \lt \varepsilon_A\)
\(\forall \varepsilon_B \gt 0 \quad \exists n_B \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge n_B\), platí \(|b_n - B| \lt \varepsilon_B\)

\(\varepsilon \gt 0\) je dáno, položme \(n_0 = \max(n_{A}, n_{B})\) a \(\varepsilon_{A} = \varepsilon_{B} = {\varepsilon \over 2}\)

1. \(|(a_n + b_n) - (A + B)| = |a_n - A + b_n - B| \le |a_n - A| + |b_n - B| \lt \varepsilon_{A} + \varepsilon_{B} = \varepsilon\)

2. \(|(a_n - b_n) - (A - B)| = |a_n - A + (B - b_n)| \le |a_n - A| - |b_n - B| \lt \varepsilon_{A} + \varepsilon_{B} = \varepsilon\)

3. posloupnost \(a_n\) je konvergentní, tedy je omezená \(\Rightarrow |a_n| \lt K\)
položme \(\varepsilon_{A} = {\varepsilon \over {2|B|}}\) a \(\varepsilon_{B} = {\varepsilon \over {2K}}\)

Potom \(|(a_n b_n) - AB| = |a_n||b_n - B| + |B||a_n - A| \lt \frac {\varepsilon}{2} + \frac {\varepsilon}{2} = \varepsilon\)

4. položme \(\varepsilon_{A} = {\varepsilon \over {|c|}}\)
\(|ca_n - cA| = |c| \cdot |a_n - A| \lt |c| \cdot \varepsilon_{A} = |c|{\varepsilon \over {|c|}} = \varepsilon\)