Zde je potřeba si uvědomit, že součet řady se nerovná limitě původní posloupnosti, ale limitě posloupnosti částečných součtů!
Řady
S pojmem posloupnost je úzce spojen pojem řada. Řada vznikne sečtením prvků posloupnosti. Pokud je posloupnost konečná, vznikne konečná řada, pokud je posloupnost nekonečná, vznikne sečtením jejích členů nekonečná řada.
Definice
Je dána posloupnosti \((a_n)\). Výraz tvaru
\(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots\)se nazývá řada.
Členy posloupnosti se nazývají členy řady.
Pokud je posloupnost konečná, tedy \((a_n)_{n=1}^{k}\) vznikne konečná řada a zapisuje se
\(\sum_{n=1}^k a_n\)
Pokud je posloupnost nekonečná, tedy \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) vznikne nekonečná řada a zapisuje se
\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)
Jelikož řada je definovaná jako součet, budeme se hlavně zajímat o to, zda danou řadu lze nebo nelze sečíst, a pokud ano, tak jaký je tento součet.
Nekonečné řady
Definice
Řada se nazývá konvergentní, pokud je její součet reálné číslo. V opačném případě se řada nazývá divergentní.
Pojem konvergence a divergence je známý již z limit. Zde se vyskytuje zcela oprávněně, protože možnost sečíst řadu opravdu souvisí s existencí limity určité posloupnosti a to posloupnosti částečných součtů.
Posloupnost částečných součtů \((s_n)\)
Máme dánu posloupnost \((a_n)\). Člen posloupnosti částečných součtů \(s_k\) vznikne jako součet \(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k\). Tedy
\(s_1 = a_1\)\(s_2 = a_1 + a_2\)
\(s_3 = a_1 + a_2 + a_3\)
...
\(s_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k\)
...
Příklad
Je dána posloupnost \(a_n = {1 \over 2^n} = \{ {1 \over 2}, {1 \over 4}, {1 \over 8}, {1 \over 16}, \ldots \}\)
Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:
\(s_1 = a_1 = {1 \over 2} = 0,5\)
\(s_2 = a_1 + a_2 = {1 \over 2} + {1 \over 4} = 0,75\)
\(s_3 = a_1 + a_2 + a_3 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} = 0,875\)
\(s_41 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} = 0,9375\)
\(s_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_ 5 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + {1 \over 32} = 0,96875\)
...
Z tohoto příkladu by už mohlo být vidět, jak souvisí součet řady s posloupností částečných součtů. Je vidět, že členy této posloupnosti se se vzrůstajícím \(n\) stále více blíží k \(1\). Můžeme se tedy domnívat, že součet "všech" členů posloupnosti \((a_n)\), tedy součet řady bude právě \(1\).
Součet nekonečné řady
Věta
Řada je konvergentní právě tehdy, když je konvergentní posloupnost částečných součtů a limita posloupnosti částečných součtů je rovna součtu této řady. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n\)Poznámka
Příklad
Vezmeme posloupnost z minulého příkladu, tedy \(a_n = {1 \over 2^n} = \{ {1 \over 2}, {1 \over 4}, {1 \over 8}, {1 \over 16}, \ldots \}\)
Tato posloupnost je geometrická (\(a_1 = {1 \over 2}\), \(q = {1 \over 2}\), podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních \(k\) členů.
Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:
\(s_1 = {1 \over 2} = {1 \over 2}\) \(s_2 = {1 \over 2} + {1 \over 4} = {3 \over 4}\) ...\(s_k = a_1 {{q^k - 1} \over {q - 1}} = {1 \over 2}{{({1 \over 2})^k - 1} \over {({1 \over 2}) - 1}} = 1 - \Bigg({1 \over 2}\Bigg)^{k}\) ...
Součet řady bude tedy vypadat následovně:
\(\sum_{n = 1}^{\infty} {1 \over {2^n}} = \lim_{n \to \infty} 1 - {1 \over {2^n}} = \lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} {1 \over {2^n}} = 1 - 0 = 1\)Tato řada konverguje, protože konverguje posloupnost částečných součtů.
Příklad
Nyní zkusíme, jak bude vypadat řada vzniklá z posloupnosti \(a_n = n = \{1, 2, 3, 4, \ldots \}\)
Tato posloupnost je aritmetická (\(a_1 = 1\), \(d = 1\), podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních \(k\) členů.
Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:
\(s_1 = 1 = 1\) \(s_2 = 1 + 2 = 3\) ...
\(s_k = {k \over 2}(a_1 + a_k) = {k \over 2}(1 + k) = {1 \over 2}(k + k^2)\) ...
Součet řady bude tedy vypadat následovně:
\(\sum_{n = 1}^{\infty} n = \lim_{n \to \infty} {1 \over 2} (n + n^2) = \infty\)Tato řada je divergentní, protože diverguje posloupnost částečných součtů.
Nekonečná geometrická řada
Speciálním typem nekonečné řady je nekonečná geometrická řada. Ta vznikne z geometrické posloupnosti. Tato řada má tu příjemnou vlastnost, že existuje jednoduché kritérium konvergence a pokud je řada konvergentní, lze pomocí vzorce vyjádřit její součet.
Máme nekonečnou geometrickou řadu s prvním členem \(a_1\) a kvocientem \(q\), potom ...
\(|q| \lt 1 \longrightarrow \) řada konverguje
\(|q| \ge 1 \longrightarrow \) řada diverguje
Věta
Nechť \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je geometrická posloupnost pro jejíž kvocient \(q\) platí \(|q| \lt 1\).Nechť \((s_n)\) je posloupnost částečných součtů.
Potom je \((s_n)\) konvergentní a platí:\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n = a_1 {1 \over {1 - q}}\)
