Kombinatorika

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Kolik trojciferných čísel lze sestavit z číslic $2, 4, 6, 8$, jestliže se čislice mohou opakovat?
Odpověď
Poznámka: Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Máme k dispozici

$n$ stejných jídelních vagonů,
$m$ stejných vagonů první třídy,
$l$ stejných vagonů druhé třídy.

Kolik existuje různých způsobů jak seřadit vagony vlaku za sebe, pokud musí být všechny vagony první třídy zařazeny na začátku vlaku? Řešte pro $n, m, l \in \mathbb{N}$. Vyberte všechny správné možnosti.

Možnosti

$$ {n + l \choose n} $$

$$ {n + l - 1 \choose n} $$

$$ \frac{(n + m + l)!}{n!\,m!\,l!} $$

$$ \frac{(n + l)!}{n!\,l!} $$

$$ n! + m! + l! $$

$$ n! \cdot l! $$

Počet bodů za otázku: 0.9

Otázka

Přiřaďte příklady použití variace, permutace a kombinace k pojmům.

Možnosti

Variace

Kombinace

Permutace

Přiřazení

Počet způsobů, kterými mohli být zavoláni ke zkoušení tři studenti ze třídy třiceti žáků. Záleží na pořadí volání studentů.
Počet způsobů, kterými může učitel vybrat tři žáky ze třídy třiceti žáků.
Počet způsobů, kterými je možné zamíchat balíček třiceti karet. Všechny karty jsou různé.

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Určete počet způsobů, kterými můžeme na šachovnici velikosti 8x8 umístit dvě věže tak, aby se neohrožovaly.

Dvě věže se ohrožují, pokud jsou ve stejném řádku nebo sloupci.

Možnosti

$$ {64 \choose 2} - {8 \choose 2} - {8 \choose 2} (= 1960) $$

$$ { 64 \choose 2 } - 8 \cdot {8 \choose 2} - 8 \cdot {8 \choose 2} (=1568) $$

$$ 64 \cdot (63 - 7 - 7) (= 3136) $$

$$ 64 \cdot (64 - 8) (= 3584) $$

Počet bodů za otázku: 3

Otázka

Přiřaďte k sobě kombinatorické pojmy s jejich vyjádřeními.

Možnosti

$k$-členná variace s opakováním z $n$ prvků

$k$-členná kombinace s opakováním z $n$ prvků

Počet permutací z $n$ prvků, v jichž se jednotlivé prvky opakují $k_1, k_2, \ldots , k_n$-krát

Přiřazení

$$ n^k $$
$$ {n + k - 1 \choose k} $$
$$ \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!\,k_2!\,\ldots\,k_n!} $$
$$ {n \choose k} $$
$$ { {k_1 \cdot k_2 \ldots k_n} \choose { k_1 + k_2 + \ldots + k_n } } $$

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Seřaďte následující čísla podle velikosti od největšího po nejmenší.
Možnosti: $$ { 10 \choose 5 } $$

$$ { 10 \choose 0 } $$

$$ { 10 \choose 2 } $$

$$ { 10 \choose 6 } $$
Poznámka: Do polí vedle možností vyplňte čísla od 1 do 4 podle pořadí prvků.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Určete, kolika způsoby je možné rozdělit $10$ stejných lízátek a $5$ stejných žvýkaček mezi $7$ dětí.
Možnosti: $$ \frac{22!}{10!\,5!\,7!} (= 512\,143\,632)$$

$$ 7^{10} + 7^5 (= 282\,492\,056)$$

$$ 7^{10} \cdot 7^5 (= 4\,747\,561\,509\,943)$$

$${16 \choose 10} + {11 \choose 5} (= 8\,470)$$

$${16 \choose 10} \cdot {11 \choose 5} (= 3\,699\,696)$$

$$ {15 \choose 7} (= 6\,435) $$

Kombinatorika

Souhrnný test

Titulní strana

Úvod

Základní kombinatorická pravidla

Variace, permutace, kombinace

Variace, permutace, kombinace s opakováním

Kombinační čísla

Souhrnný test

Literatura a zdroje