Geometrická zobrazení

Příklad 6

Jsou dány různoběžky \(p\), \(q\). Sestrojte pravidelný šestiúhelník \(ABCDEF\), aby střed šestiúhelníka \(S\) ležel na přímce \(q\), strana \(AB\) ležela na přímce \(p\), \(|AB|=a\) cm, kde \(a>0\).

Rozbor

Obr. 3.3.5 - Náčrtek příkladu 6

Při konstrukci pravidelného šestiúhelníka využijeme jeho vlastností - vrcholy leží na kružnici opsané, dva sousední vrcholy společně se středem šestiúhelníka určují rovnostranný trojúhelník.

Zkonstruujeme nejprve kružnici "opsanou" šestiúhelníku. Nemůžeme ji sestrojit přímo, protože neznáme její střed. Sestrojíme tedy nejdříve pomocnou kružnici opsanou, kterou pak vhodně posuneme.
Kdekoliv na přímce \(p\) vyneseme úsečku \(A_pB_p\) délky \(a\) cm. Nalezneme bod \(S_p\) tak, aby body \(A_pB_pS_p\) tvořily rovnostranný trojúhelník.
Sestrojíme kružnici \(l\) se středem v bodě \(S_p\), která prochází body \(A_p\), \(B_p\).
Střed \(S\) šestiúhelníka bude od přímky \(p\) stejně vzdálený jako střed \(S_p\) kružnice \(l\). Vedeme rovnoběžku \(m\) s přímkou \(p\), která prochází bodem \(S_p\). Bod \(S\) získáme jako průsečík rovnoběžky \(m\) a přímky \(q\).
Kružnici \(l\) zobrazíme na kružnici \(h\) posunutím o orientovanou úsečku SpS.
Body \(A\), \(B\) získáme jako průsečíky kružnice \(h\) a přímky \(p\). Body \(C\), \(F\) získáme jako průsečíky přímky \(m\) a kružnice \(h\). (Protože je přímka \(m\) rovnoběžná s \(p\) a prochází středem kružnice \(h\).) Body \(D\), \(E\) můžeme získat několika různými způsoby, např. posunutím bodu \(S\) o orientovanou úsečku AS a BS. Na jiné způsoby si jistě přijdete sami.