Základní informace
- stream z K1 (je-li něco v nepořádku, volejte spolužákovi, ať řekne na přednášejímu, záznamy budou v tabulce s plánem kurzu),
- rozvrh a popis předmětu v SISu,
- základní zdroj: elektronická skripta D. Stanovského,
- tabulka s kvízy a listy cvičení a výsledky kvízů a zápočtových testů,
- konzultace se domlouvají individuálně e-mailem - pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat!
Zápočet
Podmínky získání zápočtu:
- Aspoň 14 bodů z 20 za zápočtový test.
- Aspoň 50 % bodů z prvních 6 kvízů a 50 % bodů z druhých 6 kvízů.
Termíny zápočtových testů:
- Standardní termín je v K1 v čase přednášky v pátek 10. 4.
- Opravné termíny se konají v pátek po přednášce 24. 4. a 22. 5. od 14:00 v K3. Je potřeba se na ně přihlásit v SISu.
Více informací o testu je na zvláštní stránce.
Průběžné výsledky kvízů i výsledky jsou k nalezení pod přezdívkou v této tabulce.
Zkouška
Termíny zkoušek budou vypsané v SISu. Zkouška se skládá ze dvou částí a je k ní potřeba zápočet:
- ze 75 % z výsledku písemného testu (délka 150 min.),
- z 25 % z výsledku ústní části zkoušky (ca. 20 min. příprava a 15 min. zkoušení).
Plán a průběh kurzu
| Týden | Téma přednášky | Skripta (kapitola) | Záznam | Téma cvičení | List cvičení | Kvízy |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 16.2.+20.2. | Elementární teorie čísel: NSD, základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta, Čínská věta o zbytcích. | 1 | pondělí, pátek | Eukleidův algoritmus, kongruence. | zadání, řešení | kvíz 1.1, odpovědi |
| 23.2.+27.2. | Základní algebraické struktury: okruhy, obory a tělesa. Isomorfismus. Polynomy: dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost. | 2, 3.1 – 3.4 | pondělí, pátek | Eulerova věta, Čínská věta o zbytcích. | zadání, řešení | kvíz 1.2, odpovědi |
| 2.3.+6.3. | Algebraická a transcendentní čísla. Číselné obory: okruhová a tělesová rozšíření, kvadratická rozšíření. Základní pojmy teorie dělitelnosti. | 3.6, 4, 5 | pondělí, pátek (z loňska) | Obory polynomů: dělení se zbytkem, ireducibilní rozklady, NSD. | zadání, řešení | kvíz 1.3, odpovědi |
| 9.3.+13.3. | Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky. Eukleidovské obory, obory hlavních ideálů. | 6, 7.1 – 7.2 | pondělí, pátek (z loňska) | Číselné obory: dělení se zbytkem, ireducibilní rozklady, NSD. | zadání, řešení | kvíz 1.4, odpovědi |
| 16.3.+20.3. | Shrnutí probírané hierarchie oborů. Racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium. Gaussova věta. Modulární aritmetika na polynomech. Kořenová a rozkladová nadtělesa. | 7.3, 8, 9 | pondělí, pátek (jen 20min zvuku), pátek (z loňska) | Gaussovy obory, obory hlavních ideálů. | zadání, řešení | kvíz 1.5, odpovědi |
| 23.3.+27.3. | Násobné kořeny a formální derivace polynomů (stručně). Konečná tělesa, omezení na počet prvků, existence a aplikace. Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. Lemmata k Základní větě algebry. | 3.5, 10, 11, 12, věta 24.6(1) | pondělí, pátek | Faktorokruhy, konečná tělesa. | zadání, řešení | kvíz 1.6, odpovědi |
| 30.3. | Základní věta algebry – dokončení důkazu. Grupy: definice a příklady grup (mimo jiné grupy symetrií). Isomorfismus grup. Mocniny a řád prvku. | 12, 13, 17.1 | pondělí | Lagrangeova interpolace, symetrické polynomy. | zadání, řešení | nebude |
| 10.4. | Zápočtový test | Permutační grupy, příp. opakování k testu. | zadání, řešení | nebude | ||
| 13.4.+17.4. | Podgrupy: generátory, vztah k řádu prvku, Lagrangeova věta. Grupové homomorfismy, klasifikace grup až na isomorfismus. | 13, 14.1, 14.2, 15.1 – 15.4 | pondělí, pátek | Řády prvků, podgrupy, homomorfismy grup. | zadání, řešení | kvíz 2.1, odpovědi |
| 20.4.+24.4. | Struktura cyklických grup, multiplikativní grupy těles, diskrétní logaritmus. Permutační grupy a působení grupy na množině. Burnsideova věta. Cauchyova věta. Cayleyova reprezentace. | 15.5, 16, 18 | pondělí, pátek | Isomorfismus, cyklické grupy. | zadání, řešení | kvíz 2.2, odpovědi |
| 27.4. | Normální podgrupy a faktorgrupy. Ideály a faktorokruhy. Věty o homomorfismu a isomorfismu. | 19.1, 19.2, 20.1, 20.2 | pondělí | Burnsideova věta. | zadání, řešení | kvíz 2.3, odpovědi |
| 4.5. | Tělesová rozšíření: motivace, konstrukce pomocí faktorokruhů, algebraické a transcendentní prvky, minimální polynom a stupeň rozšíření. | 20.3, 21, 22.1 | pondělí | Faktorgrupy a faktorokruhy. | zadání, řešení | kvíz 2.4 |
| 11.5.+15.5. | Stupeň násobných rozšíření a konstrukce pravítkem a kružítkem. Jednoznačnost kořenových a rozkladových nadtěles, klasifikace konečných těles. | 22.2, 23, 24 | pondělí | středa odpadá (rektorský den) | kvíz 2.5 | |
| 18.5.+22.5. | Galoisovy grupy. Řešitelné grupy a (ne)řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. | 19.3, 25, 26 | Minimální polynomy. | zadání, řešení |
Literatura a další zdroje
Základním zdrojem jsou elektronická skripta D. Stanovského.
K dispozici je i provizorní sbírka úloh, též od D. Stanovského.
Přednášky z akademického roku 2017/2018 byly natočeny na video. V tom roce byla přednáška rozdělena do dvou semestrů, obsahově je obdobná:
Ještě doplňující odkazy pro zvídavé:
-
Důkaz, že ℤ[(1+√-19)/2] je obor hlavních ideálů, ale není eukleidovský:
J. C. Wilson, A principal ideal ring that is not a Euclidean ring, Mathematics Magazine, Vol. 46, No. 1 (Jan., 1973), pp. 34-38. -
Různé důkazy základní věty algebry jsou vysvětleny v následující knize
(ten přednášený se nachází v kapitole 6.5):
B. Fine, G. Rosenberger, The fundamental theorem of algebra, Springer-Verlag, 1997. - Ilustraci pro topologický důkaz Základní věty algebry, jak některé komplexní polynomy zobrazují kružnice v komplexní rovině, lze najít na této stránce.
- Konstrukci pravidelného 257-úhelníku lze v nějaké podobě najít na Wikipedii.
-
Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku:
K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2).
Související předměty
Doporučené doplňující a navazující kurzy:
- Proseminář z algebry (NMAG261) - cílem prosemináře je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Jak teoretických - například Velká Fermatova věta či klasifikace tvarů ploch, tak praktických - například šifry a samoopravné kódy. Proseminář je doporučen jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programu Matematické struktury a Matematika pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.
- Teorie čísel (NMMB206) - v tomto kurzu najdete využití algebry při studiu vlastností čísel a diofantických rovnic.
- Úvod do matematické logiky (NMAG162) - kurz se zabývá příbuznými tématy výrokové a predikátové logiky, jakož i nejzákladnějšími pojmy a fakty z teorie modelů a teorie množin.
Přednáška z algebry v minulých letech:
- Domovská stránka přednášky z akademického roku 2024/2025 od D. Stanovského.
- Domovská stránka přednášky z akademického roku 2023/2024 od V. Kaly.