Súčet a rozdiel goniometrických funkcií, súčtové vzorce
Pri tomto type úloh využívame vzorce pre (súčet a rozdiel goniometrických funkcií, súčtové vzorce). Zároveň sa predpokladá znalosť predchádzajúcich typov úloh.
- Príklad 1
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\sin (5x + 45^\circ) = \sin x\)
Riešenie
\(\sin (5x + 45^\circ)- \sin x = 0\) (Využijeme \({\pi \over 2} = 90^\circ \Rightarrow 45^\circ = {\pi \over 4}\).)
\(2\cos {\Large 5x + {\pi \over 4} + x \over \Large 2}\sin {\Large 5x + {\pi \over 4} - x \over \Large 2} = 0\) (Použili sme vzorec pre \(\sin x - \sin y\).)
\(2\cos {\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2}\sin {\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0\)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\(2\cos {\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2}\sin {\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0 \Leftrightarrow 2\cos {\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0 \vee \sin {\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0 \)
Prvá možnosť:
\(2\cos {\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0\)
Po úprave dostaneme:
\(\cos {\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0\)
Zavedieme substitúciu:
\({\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = y\)
\(\cos y = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos y = 0 \Rightarrow y = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu:
\({\Large 6x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = {\pi \over 2} + k\pi\)
\(6x + {\pi \over 4} = \pi + 2k\pi\)
\(x_1 = {\pi \over 8} + k {\pi \over 3}, k \in \mathbb{Z} \) (Prvé riešenie príkladu.)
Druhá možnosť:
\(\sin {\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = 0\)
Zavedieme substitúciu:
\({\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = y\)
\(\sin y = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie sínus plynie, že \(\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu:
\({\Large 4x + {\pi \over 4} \over \Large 2} = k\pi\)
\(4x + {\pi \over 4} = 2k\pi\)
\(x_2 = {15\pi \over 16 } + k {\pi \over 2}, k \in \mathbb{Z} \) (Druhé riešenie príkladu.)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{8}+k{\pi \over 3}; \frac{15}{16}{\pi}+ k {\pi \over 2} \}\;.\)
- Príklad 2
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(-\cos 3x = \cos 7x\)
Riešenie
\(\cos 7x + \cos 3x = 0\)
\(2\cos {\Large 7x + 3x \over \Large 2}\cos {\Large 7x - 3x \over \Large 2} = 0\) (Použili sme vzorec pre \(\cos x + \cos y\).)
\(2\cos 5x \cos 2x = 0\)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\(2\cos 5x \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 5x = 0 \vee \cos 2x = 0\)
Prvá možnosť:
\(\cos 5x = 0\)
Zavedieme substitúciu:
\( 5x = y\)
\(\cos y = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos y = 0 \Rightarrow y = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu:
\(5x = {\Large \pi \over \Large 2} + k\pi\)
\(x_1 = {\Large \pi \over \Large 10} + k{\Large \pi \over \Large 5}, k \in \mathbb{Z} \) (Prvé riešenie príkladu.)
Druhá možnosť:
\(\cos 2x = 0\)
Zavedieme substitúciu:
\( 2x = y\)
\(\cos y = 0\)
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \(\cos y = 0 \Rightarrow y = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu:
\(2x = {\Large \pi \over \Large 2} + k\pi\)
\(x_2 = {\Large \pi \over \Large 4} + k{\Large \pi \over \Large 2}, k \in \mathbb{Z} \) (Druhé riešenie príkladu.)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{10}+k{\pi \over 5}; \frac{\pi}{4} + k {\pi \over 2} \}\;.\)
- Príklad 3
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou \(x \in \mathbb{R}\):
\(\sin \left(x + {\Large \pi \over \Large 4}\right) = 5\cos \left(x - {\Large \pi \over \Large 4}\right)\)
Riešenie
\(\sin x \cos {\Large \pi \over \Large 4} + \cos x \sin {\Large \pi \over \Large 4} = 5 \left (\cos x \cos {\Large \pi \over \Large 4} + \sin x \sin {\Large \pi \over \Large 4} \right)\) (Použili sme vzorce pre \(\sin (x+y), \cos (x+y)\).)
\({\sqrt {2} \over 2 }\sin x + {\sqrt {2} \over 2 }\cos x = 5{\sqrt {2} \over 2 }(\cos x + \sin x)\) (Použili sme tabuľkové hodnoty funkcie (sínus a kosínus).)
\({\sqrt {2} \over 2 }(\sin x + \cos x) = 5{\sqrt {2} \over 2 }(\cos x + \sin x)\)
\(0 = 5{\sqrt {2} \over 2 }(\cos x + \sin x) - {\sqrt {2} \over 2 }(\sin x + \cos x) \)
\(0 = 4{\sqrt {2} \over 2 }(\cos x + \sin x) \)
\(2 \sqrt {2}(\cos x + \sin x) = 0\)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\(2 \sqrt {2}(\cos x + \sin x) = 0 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0\)
Riešime teda rovnicu:
\(\sin x + \cos x = 0\)
\(\sin x = -\cos x \)
Z grafu oboch funkcií sínus a kosínus plynie:
\(x = {3 \over 4 }\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) (Využívame periodičnosť goniometrických funkcií.)
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{3\pi}{4}+k\pi \}\;.\)
