Vzorce pre goniometrické funkcie
Základné vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého argumentu
Veta
Pre každé \(x \in \mathbb{R}\) platí: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Pre každé reálne \(x \not= k{\large \pi \large \over 2}; k \in \mathbb{Z}\), platí: \({\rm tg}\: x \cdot {\rm cotg}\: x = 1\)
Goniometrické funkcie dvojnásobného argumentu
Veta
Pre každé \(x \in \mathbb{R}\) platí: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)
Pre každé \(x \in \mathbb{R}\) platí: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)
Pre každé reálne \(x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x \not= (2k + 1){\large \pi \over 4}; k \in \mathbb{Z}\) platí: \({\rm tg}\: 2x = {\large 2 {\rm tg}\: x \over \large 1 - {\rm tg^2}\: x}\)
Goniometrické funkcie súčtu a rozdielu argumentov
Veta
Pre každé dve reálne čísla x a y platí:
\(\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)
\(\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y\)
\(\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)
\(\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\)
Pre každé dve reálne čísla, kde
\(x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x + y \not= (2k + 1) {\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= 1, k \in \mathbb{Z}\)
platí: \({\rm tg}\: (x + y) = {\large {\rm tg}\: x + {\rm tg}\: y \over \large 1 - {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}\)
Pre každé dve reálne čísla, kde \(x - y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= -1, k \in \mathbb{Z}\), platí:
\({\rm tg}\: (x - y) = {\large {\rm tg}\: x - {\rm tg}\: y \over \large 1 + {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}\)
Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funkcií sínus a kosínus
Veta
Pre každé dve reálne čísla x a y platí:
\(\sin x + \sin y = 2\sin {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}\)
\(\sin x - \sin y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}\)
\(\cos x + \cos y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}\)
\(\cos x - \cos y = -2\sin {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}\)
Goniometrické funkcie poloviny argumentu
Veta
Pre každé \(x \in \mathbb{R}\) platí: \(|\sin {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 - \cos x \over 2}\)
Pre každé \(x \in \mathbb{R}\) platí: \(|\cos {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 + \cos x \over 2}\)
Pre každé reálne číslo \(x \not= (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}\), platí: \(|{\rm tg}\: \large \frac {x} {2} | = \sqrt {\frac {1 - \cos x} {1+ \cos x}}\)
Poznámka
Všetky dôkazy týchto základných vzorcov môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie.
