Komplexní rovina
Povšimněme si, že zápis komplexního čísla \(x=[x_1;x_2]\) připomíná zápis souřadnic bodu v rovině.
Komplexní čísla můžeme zobrazit jako body roviny se zvolenou kartézskou soustavou souřadnic. Tato rovina se nazývá komplexní či Gaussova. Osa x se nazývá reálná osa a osa y imaginární osa. Reálná část komplexního čísla odpovídá x-ové a imaginární část y-ové souřadnici daného bodu.
V následujícím appletu můžeme pohybovat bodem v komplexní rovině a sledovat, jak se mění jeho souřadnice, a tedy i jeho reálná a imaginární část.
Každý bod komplexní roviny je obrazem komplexního čísla.
V kapitole zavedení komplexních čísel jsme si uvedli, že jsou si dvě komplexní čísla \(x\) a \(y\) rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné a imaginární části. Z toho vyplývá, že v komplexní rovině obrazy komplexních čísel \(x\) a \(y\) splývají.
Dvě komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]\) a \(y=[y_1;y_2]\) jsou si rovna právě tehdy, když jejich obrazy v komplexní rovině splývají.
Využijte applet k řešení následujících úloh.
Úlohy
-
Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají imaginární část nulovou?
-
Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část nulovou?
-
Jakou množinu bodů tvoří obrazy komplexních čísel, které mají reálnou část rovnu imaginární části?
Poznámka
Z řešení úlohy 1 vyplývá, že obraz komplexního čísla \([a,0]\) je totožný s obrazem reálného čísla \(a\) na reálné ose.
Poznámka
Množina všech reálných čísel, nahlížíme-li na každé reálné číslo \(a\) jako na uspořádanou dvojici \([a,0]\), je tedy podmnožinou množiny všech čísel komplexních, tj. \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\).
