Derivace

$\begin{align} \end{align}$

Konvexnost a konkávnost tabulkovou metodou

ilustrace
„Do konkávní kávy nenaleješ.“

V této podkapitole se naučíte nalézat tabulkovou metodou intervaly ryzí konvexnosti a ryzí konkávnosti pro různé funkce. Použitá metoda bude do jisté míry podobná metodě hledání intervalů monotónnosti tabulkovou metodou, tak jak byla vyložena v kapitole Monotónnost a extrémy. Platí zde předpoklady uvedené v podkapitole Předpoklady, kde je také vysvětlen pojem otevřený interval spojitosti první derivace, který se v celé této podkapitole využívá.

Nejprve je uvedena teorie a pak příklady a úlohy.

Teoretická část

Definice

ryze konvexní

ryze konkávní

Funkce $f$ se nazývá ryze konvexní v intervalu $I$ , právě když pro libovolná čísla $x_1, x_2, x_3 \in I$ , která splňují nerovnost $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ , platí, že bod $[x_2;f(x_2)]$ leží pod přímkou procházející body $[x_1;f(x_1)]$ a $[x_3;f(x_3)]$ .

Funkce $f$ se nazývá ryze konkávní v intervalu $I$ , právě když pro libovolná čísla $x_1, x_2, x_3 \in I$ , která splňují nerovnost $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ , platí, že bod $[x_2;f(x_2)]$ leží nad přímkou procházející body $[x_1;f(x_1)]$ a $[x_3;f(x_3)]$ .

V případě, že připustíme možnost, aby bod $[x_2;f(x_2)]$ z předcházející definice ležel na přímce procházející body $[x_1;f(x_1)]$ a $[x_3;f(x_3)]$ , pak hovoříme o funkci konvexní v intervalu $I$ , resp. o funkci konkávní v intervalu $I$ (obojí bez přívlastku „ryzí“).

Ilustrace 1

Na následujících obrázcích jsou zobrazeny grafy ryze konvexní a ryze konkávní funkce. Všimněte si, že sestrojíme-li tečnu ke grafu ryze konvexní funkce, leží body grafu této funkce nad touto tečnou s výjimkou bodu dotyku. Podobně sestrojíme-li tečnu ke grafu ryze konkávní funkce, leží body grafu této funkce pod touto tečnou s výjimkou bodu dotyku.

ryze konvexní

ryze konkávní

Od uvedené ilustrace se dostáváme k následující definici:

Definice

Funkce $f$ se nazývá ryze konvexní v bodě $x_0$ , jestliže má v bodě $x_0$ derivaci a jestliže existuje takové číslo $\delta \gt 0$ , tak, že pro každé $x \in (x_0-\delta,x_0) \cup (x_0,x_0+\delta)$ platí:

bod $[x;f(x)]$ leží nad tečnou vedenou bodem $[x_0;f(x_0)]$ .

Funkce $f$ se nazývá ryze konkávní v bodě $x_0$ , jestliže má v bodě $x_0$ derivaci a jestliže existuje takové číslo $\delta \gt 0$ , tak, že pro každé $x \in (x_0-\delta,x_0) \cup (x_0,x_0+\delta)$ platí:

bod $[x;f(x)]$ leží nad tečnou vedenou bodem $[x_0;f(x_0)]$ .

Poznámka k definici Zobrazit

Rovnice tečny vedené bodem $[x_0;f(x_0)]$ je

$y = f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ .

Jestliže bod $[x;f(x)]$ leží nad tečnou vedenou bodem $[x_0;f(x_0)]$ , pak to znamená, že

$f(x) \gt f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ .

Jestliže bod $[x;f(x)]$ leží pod tečnou vedenou bodem $[x_0;f(x_0)]$ , pak to znamená, že

$f(x) \lt f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ .

Věta

Je-li $f^{\prime\prime}(x_0) \gt 0$ , pak je funkce $f$ ryze konvexní v bodě $x_0$ .

Je-li $f^{\prime\prime}(x_0) \lt 0$ , pak je funkce $f$ ryze konkávní v bodě $x_0$ .

Poznámka k větě Zobrazit

Když si nebudete jistí tím, zda $f^{\prime\prime}(x_0) \gt 0$ znamená, že je funkce $f$ ryze konvexní nebo ryze konkávní v bodě $x_0$ , tak proveďte test pro kvadratickou funkci $f(x) = x^2$ . Víme, že tato funkce je na celém svém definičním oboru konvexní. Současně však víme, že $f^{\prime\prime}(x) = 2 \gt 0$ . Proto $f^{\prime\prime}(x_0) \gt 0$ musí znamenat, že je funkce $f$ ryze konvexní v bodě $x_0$ . Druhý případ, tedy že $f^{\prime\prime}(x_0) \lt 0$ , pak nutně znamená ryzí konkávnost funkce v bodě $x_0$ .

Jiný úhel pohledu získáme, když si představíme, že je $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$ na otevřeném intervalu I. To znamená, že první derivace $f^{\prime}(x)$ je na tomto intervalu rostoucí funkcí. Neboli, pokud jdeme po ose $x$ zleva doprava a konstruujeme tečny k funkci $f$ , tak jejich směrnice roste. To odpovídá konvexnímu tvaru funkce. Tuto představu splňuje funkce $f(x) = x^2$ .

Podobně, když je $f^{\prime\prime}(x) \lt 0$ na otevřeném intervalu I, znamená to, že první derivace $f^{\prime}(x)$ je na tomto intervalu klesající funkcí. Neboli, pokud jdeme po ose $x$ zleva doprava a konstruujeme tečny k funkci $f$ , tak jejich směrnice klesá. To odpovídá konkávnímu tvaru funkce. Tuto představu splňuje funkce $f(x) = -x^2$ .

Věta

Je-li funkce ryze konvexní v každém bodě otevřeného intervalu I, pak je v tomto intervalu ryze konvexní.

Je-li funkce ryze konkávní v každém bodě otevřeného intervalu I, pak je v tomto intervalu ryze konkávní.

Následující věta je důležitá pro aplikaci tabulkové metody.

Věta

Má-li funkce $f$ v každém bodě otevřeného intervalu $(a,b)$ nenulovou druhou derivaci, pak tam má tato druhá derivace stále stejné znaménko. To znamená, že je funkce $f$ na tomto intervalu buď jen ryze konvexní, nebo jen ryze konkávní.

Poznámka k předchozí větě

To, zda je funkce ryze konvexní, nebo ryze konkávní, lze ověřit pomocí hodnoty druhé derivace v libovolném jednom bodě tohoto otevřeného intervalu. Na tom je založena tzv. tabulková metoda pro hledání intervalů ryzí konvexnosti a ryzí konkávnosti.

Tabulková metoda pro určování intervalů ryzí konvexnosti a ryzí konkávnosti:
Tisková verze je k dispozici >zde<.

Nejprve vypočítáme první derivaci dané funkce.
Poté stanovíme otevřené intervaly spojitosti první derivace funkce. Tyto intervaly jsou vysvětleny v podkapitole Předpoklady.
Z levých krajních bodů otevřených intervalů spojitosti první derivace stanovíme body, v nichž je funkce zprava spojitá, a z pravých krajních bodů těchto intervalů stanovíme body, v nichž je funkce zleva spojitá.
Vypočítáme druhou derivaci funkce.
Stanovíme body z otevřených intervalů spojitosti první derivace, ve kterých je druhá derivace nulová, nebo v nichž není definována.
Pro každý otevřený interval spojitosti první derivace sestavíme samostatnou tabulku podle následujících tří bodů.
Je-li funkce v levém krajním bodě intervalu zprava spojitá, zapíšeme tento bod zleva do záhlaví tabulky. Podobně, je-li funkce v pravém krajním bodě intervalu zleva spojitá, zapíšeme tento bod zprava do záhlaví příslušné tabulky.
Každý otevřený interval spojitosti první derivace dále rozdělíme pomocí bodů, v nichž je druhá derivace nulová, a bodů, v nichž není druhá derivace definována, na otevřené intervaly, a tyto body a intervaly uvedeme do záhlaví příslušné tabulky.
Pro každý interval v záhlaví tabulky otestujeme v jednom libovolném bodě tohoto intervalu znaménko druhé derivace, a podle přechozích vět stanovíme, zda je tam funkce ryze konvexní nebo ryze konkávní. To uvedeme v tabulce.
V závislosti na situaci případně využijeme následující větu:

Věta

Nechť má funkce spojitou první derivaci na otevřeném intervalu $(a,b)$ a nechť $c \in (a,b)$ . Pokud je funkce ryze konvexní na intervalech $(a,c)$ a $(c,b)$ , pak je ryze konvexní i na intervalu $(a,b)$ . Pokud je funkce ryze konkávní na intervalech $(a,c)$ a $(c,b)$ , pak je ryze konkávní i na intervalu $(a,b)$ .

Je-li funkce ryze konvexní, resp. ryze konkávní na otevřeném intervalu $(a,b)$ a spojitá na intervalu $\langle a,b)$ , pak je ryze konvexní, resp. ryze konkávní i na intervalu $\langle a,b)$ . Obdobně pro interval $(a,b \rangle$ .

Je-li funkce ryze konvexní, resp. ryze konkávní na otevřeném intervalu $(a,b)$ a spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ , pak je ryze konvexní, resp. ryze konkávní i na intervalu $\langle a,b \rangle$ .

Ilustrace 2

y = x^4

Zkoumejme funkci $f: y = x^4$ na intervalu $\langle {-1},1 \rangle$ . Otevřený interval spojitosti první derivace je ${(}{-1},1{)}$ . Druhá derivace funkce je $f^{\prime\prime}(x) = 12x^2$ . Vidíme, že funkce je na intervalech $(-1,0)$ a $(0,1)$ ryze konvexní, neboť tam je $f^{\prime\prime}(x) \gt 0$ . V bodě $x = 0$ je druhá derivace nulová. Podle předchozí věty je tedy funkce ryze konvexní na intervalu $(-1,1)$ . Protože je funkce spojitá na intervalu $\langle {-1},1 \rangle$ , je podle předchozí věty ryze konvexní i na tomto intervalu.

Příklady a úlohy

Značení

V následujících příkladech a úlohách budeme používat tato značení:

BN2D	.....	body z otevřených intervalů spojitosti první derivace, v nichž je druhá derivace funkce nulová, a body, v nichž není druhá derivace definována; (jako „body nulové druhé derivace“ a „body nedefinované druhé derivace“).
KBS	.....	levé krajní body otevřených intervalů spojitosti první derivace, v nichž je funkce zprava spojitá, a pravé krajní body intervalů spojitosti první derivace, v nichž je funkce zleva spojitá; (jako „krajní body spojitosti“);

Příklad 1

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = 4x^2 - x + 5$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

Řešení

První derivace: $f^{\prime}(x) = 8x - 1$ .
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.
Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = 8$ .
BN2D: žádné.
Tabulka:

$(-\infty,+\infty)$
$f^{\prime\prime}(0) = 8 \gt 0$ ryze konvexní

Závěr: Funkce $f$ je ryze konvexní na intervalu $(-\infty,+\infty)$ .

Úloha 1

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = -2x^2 + 3x + 1$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

První derivace: $f^{\prime}(x) = -4x + 3$ .
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.
Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = -4$ .
BN2D: žádné.
Tabulka:

$(-\infty,+\infty)$

Závěr:

Poznámka:

Úloha 2

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = \large e^x$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

První derivace: $f^{\prime}(x) = \large e^x$ .
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.
Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = \large e^x$ .
BN2D: žádné.
Tabulka:

$(-\infty,+\infty)$

Závěr:

Příklad 2

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = \sqrt{x}$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

Řešení

První derivace: $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(0,+\infty)$ .

KBS: 0.

Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{4\sqrt{x^3}}$ .

BN2D: žádné.

Tabulka:

$0$	$(0,+\infty)$
	$f^{\prime\prime}(1) = -\dfrac{1}{4} \lt 0$ ryze konkávní

Závěr: Funkce $f$ je ryze konkávní na intervalu $\langle 0,+\infty)$ .

Úloha 3

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = \ln{x}$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

První derivace:

Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(0,+\infty)$ .

KBS: žádné.

Druhá derivace:

BN2D: žádné.

Tabulka:

$(0,+\infty)$

Závěr:

Příklad 3

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = \dfrac{1}{x}$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

Řešení

První derivace: $f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ .

Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,0)$ a $(0,+\infty)$ .

KBS: žádné.

Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2}{x^3}$ .

BN2D: žádné.

Dvě tabulky: jedna pro interval $(-\infty,0)$ a druhá pro interval $(0,+\infty)$ .

$(-\infty,0)$
$f^{\prime\prime}(-1) = -2 \lt 0$ ryze konkávní

$(0,+\infty)$
$f^{\prime\prime}(1) = 2 \gt 0$ ryze konvexní

Závěr: Funkce $f$ je ryze konkávní na intervalu $(-\infty,0)$ a ryze konvexní na intervalu $(0,+\infty)$ .

Úloha 4

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = \dfrac{1}{x^2}$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

První derivace: $f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{x^3}$ .

Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,0)$ a $(0,+\infty)$ .

KBS: žádné.

Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{6}{x^4}$ .

BN2D: žádné.

Dvě tabulky:

$(-\infty,0)$

$(0,+\infty)$

Závěr:

Příklad 4

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = (x^2-4x+6) \large e^x$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

Řešení

První derivace: $f^{\prime}(x) = (x^2-2x+2) \large e^x$ .
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.
Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) = x^2 \large e^x$ .
BN2D: 0.
Tabulka:

$(-\infty,0)$	$0$	$(0,+\infty)$
$f^{\prime\prime}(-1) = {\large e^{-1}} \gt 0$ ryze konvexní		$f^{\prime\prime}(1) = {\large e} \gt 0$ ryze konvexní

Závěr: Funkce $f$ je ryze konvexní na intervalu $(-\infty,+\infty)$ .

Úloha 5

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = (x^2-2x+3) \large e^x$ ryze konvexní a ryze konkávní.

schéma grafu funkce

První derivace: $f^{\prime}(x) = (x^2+1) \large e^x$ .
Otevřené intervaly spojitosti první derivace: $(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.
Druhá derivace:
BN2D: -1.
Tabulka:

$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,+\infty)$

Závěr:

Příklad 5

Určete intervaly, ve kterých je funkce $f: y = x |x|$ ryze konvexní a ryze konkávní.

graf funkce

Řešení

První derivace:

$f^{\prime}(x) = 2|x|$ Zobrazit

Funkci $f$ lze zapsat i následujícím předpisem:	$f(x) =\;$	$x^2$ pro $x \gt 0$ ,
		$-x^2$ pro $x \lt 0$ ,
		0 pro $x = 0$ .

Pro $x \lt 0$ je $f^{\prime}(x) \; = \; (-x^2)^{\prime} \; = \; -2x$ .

Pro

$x \gt 0$ je

$f^{\prime}(x) \; = \; (x^2)^{\prime} \; = \; 2x$ .

Pro $x = 0$ je podle definice	$f^{\prime}(0) \; = \;{\large\lim\limits_{\Delta x \to 0}} \dfrac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x} \; =$
	$= \;{\large\lim\limits_{\Delta x \to 0}} \dfrac{(0+\Delta x)\|0+\Delta x\| - 0\|0\|}{\Delta x} \; = \;{\large\lim\limits_{\Delta x \to 0}} \|\Delta x\| \; = 0$ .

Vidíme, že opravdu

$f^{\prime}(x) \; = 2|x|$ pro všechna

$x \in \mathbb R$ .

Otevřené intervaly spojitosti první derivace:

$(-\infty,+\infty)$ .
KBS: žádné.

Druhá derivace: $f^{\prime\prime}(x) =\;$	-2 pro $x \lt 0$ ,
	2 pro $x \gt 0$ ,
	nedefinována pro $x = 0$ .

BN2D: 0.
Tabulka:

$(-\infty,0)$	$0$	$(0,+\infty)$
$f^{\prime\prime}(-1) = -2 \lt 0$ ryze konkávní		$f^{\prime\prime}(1) = 2 \gt 0$ ryze konvexní

Závěr: Funkce $f$ je ryze konkávní na intervalu $(-\infty,0 \rangle$ a ryze konvexní na intervalu $\langle 0,+\infty)$ .

Derivace

Konvexnost a konkávnost tabulkovou metodou

Teoretická část

Ilustrace 1

Ilustrace 2

Příklady a úlohy

Značení

Příklad 1

Úloha 1

Úloha 2

Příklad 2

Úloha 3

Příklad 3

Úloha 4

Příklad 4

Úloha 5

Příklad 5

Titulní strana

Úvod

Zavedení derivace

Pravidla derivování

Monotónnost a extrémy

Konvexnost a konkávnost

L'Hospitalova pravidla

Průběh funkce

Optimalizace

Terminologie

Literatura
a webové odkazy

Tlačítka a značení

Rejstřík