Teaching

Matematická analýza I - cvičení

Kdy a kde: Středa, 10:40 - 12:55, N6 (Troja, Impakt)
Během cvičení můžete získat až 25 bodů, přičemž až 18 za písemky (budeme psát dvě) a 7 za aktivitu na cvičení a domácí úkoly.
Pro zápočet, který je nutný ke zkoušce, je nutné získat alespoň 13 bodů.
Body za aktivitu můžete získat třemi způsoby:
1. Dobrým vyřešením předem připraveného příkladu během cvičení
2. Vyřešením zapsaného dobrovolného domácího úkolu (budou 3).
Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 1. semestr.
Další studijní materiály a diskuse budou přístupné v rámci MS Teams.
Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace.

Příklady na cvičení

2.10.: Opakování ze střední školy
9.10.: Opakování II
16.10.: Limity funkcí I
23.10.: Cvičení se nekoná - imatrikulace
30.10.: Limity funkcí II
6.11.: Spojitost a derivace funkcí
13.11.:1. písemka (limity funkcí). Primitivní funkce I
20.11.: Primitivní funkce II
27.11.: Limity funkcí podruhé, Limita posloupnosti
4.12.: Hlubší vlastnosti funkcí
11.12.: 2. písemka (primitivní funkce). Taylorův polynom
18.12.: Průběh funkcí
8.1.: Newtonův a Riemannův integrál

Dobrovolné domácí úkoly

Jak souvisí nekonečný elektrický obvod a USS Enterprise? (2 body): Spočtěte odpor nekonečného elektrického obvodu na obrázku a postup zapište matematicky korektně.

Speciálně vyčíslete odpor, pokud $R_1=R_2=1$.
Frekvence spicyonu (3 body): Bylo zjištěno, že koření na planatě Arrakis obsahuje zvláštní jednodimenzionální částice zvané spicyony. Spicyon se pohybuje v potenciálovém poli $U(x) = -U_0\cosh^{-2}(x/l_P)$, kde $U_0$ je klidová energie elektronu a $l_P$ je Planckova délka. Hmotnost spicyonu je stejná jako hmotnost elektronu. K průmyslovému využití spicionů je však třeba zjistit, jak závisí perioda jejich kmitů v daném potenciálovém poli na jejich celkové energii $E=\frac{1}{2}m (\dot{x})^2 +U(x)$. Z nalezené harkonenské dokumentace se zdá, že čas lze vyjádřit jako $t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+\mathrm{konst}$, ale je třeba nejprve tento vztah zkontrolovat. Celková perioda pak bude čtyřnásobkem času uplynulého od momentu, kdy je částice na pozici $x=0$, k okamžiku, kdy je v bodě zvratu, kdy platí $E=U(x)$. Pomožte nám zjistit, jak závisí perioda kmitů spicyonů na jejich energii, je to důležité pro další vývoj planety.
Kinetická energie spicyonů v rovnováze (3 body): Pro úspěšné využití spicyonů v energetickém průmyslu je třeba znát jejich průměrnou kinetickou energii. Známe-li celkovou energii $N$ spicyionů $E=T+U$, jaká je jejich kinetická energie po ustavení termodynamické rovnováhy, $\bar{T} = \lim_{t\rightarrow \infty} T(t)$? Tuto otázku lze zodpovědět například díky tomu, že $2T= \sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\mathbf{r}_i\right)-\sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\cdot\dot{\mathbf{p}}_i$, kde $\mathbf{r}_i$ a $\mathbf{p}_i$ jsou poloha a hybnost částice $i$ a $\dot{\mathbf{p}}_i=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i}$. Podle nalezené harkonenské dokumentace to vypadá, že bude výhodné spočítat integrál $\frac{1}{\tau} \int_0^\tau T(t)dt$. Předpokládáme, že systém těchto částic má omezenou energii, takže je i omezený v prostoru. Dá se očekávat, že částice budou blízko minim své potenciální energie, kde tuto energii můžeme aproximovat do druhého řádu přesnosti.