Vztah mezi dvěma rovinami
Zkusme si představit tenké desky, které jsou osvětleny sluncem, a jejich stín na podložce. Nemohl by být mezi deskami a jejich stínem nějaký vztah? Uvažujme, že slunce je tak daleko, že jeho paprsky jsou vzájemně rovnoběžné. Potom můžeme vztah mezi deskami a jejich stínem přirovnat ke vztahu osové afinity.
Uveďme ještě jiný příklad, se kterým jsme se mohli setkat při hodinách stereometrie:
Příklad: Sestrojte řez řez pravidelného čtyřbokého hranolu ABCDEFGH rovinou ρ, která je určena body A´, B´, D´; A´ je bodem hrany AE, B´ je bodem hrany BF, D´ je bodem hrany DH.
Krokované řešení: Zadání úlohy.
Nejprve sestrojíme průsečnici o roviny řezu a roviny podstavy: Jeden její bod X najdeme jako průsečík přímek AB a A´B´.
Bod X je společným bodem trojice rovin ρ, ABF a ABC.
Bod Y (průsečík přímek BD a B´D´) je společným bodem trojice rovin ρ, ABC a BDH.
Body X, Y určují přímku p. Přímka p je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu.
Zbývající bod řezu, C´, sestrojíme pomocí bodu M, který je společným průsečíkem rovin ρ, ABC a CDH.
Řezem je čtyřúhelník A´B´C´D´.
Definice
Mezi stínem desek, který vrhá slunce na podložku a řezem hranolu rovinou je jistá podoba. V obou případech se setkáváme s osovou afinitou. Představme si hranol a jeho řez tak, že rovina řezu je nyní rovina desek a rovina podstavy je podložka. Desky jsou jednou hranou opřeny o stůl a svítí na ně slunce. Povšimněme si nyní některých vlastností.
- Roh desek a jeho stín leží na přímce, která je rovnoběžná se slunečním paprskem. Můžeme si všimnout, že to platí nejen pro každý roh, ale i pro každý bod hrany (pro celý stín).
- Hrana desek A,B, která leží na stole je totožná se svým stínem. Tato hrana je průsečnice roviny stolu a roviny, ve které desky leží. Hrana neležící na stole, např. A, C, a její stín se protínají na průsečnici roviny stolu a roviny, ve které desky leží.
- Pokud bod leží na libovolné hraně desek, pak jeho stín náleží stínu příslušné hrany.
Příklad slunce a desek nám osovou afinitu názorně představil. Pojďme se nyní podívat, jak pozorování zobecnit:
Definice
„Uvažujme dvě různoběžné roviny \(ρ\), \(ρ´\), jejich průsečnici označme \(o\) . Zvolme dále přímku \(s\) tak, že \(s\) není rovnoběžná s žádnou z rovin. Potom přiřadíme navzájem body a přímky roviny \(ρ\) bodům a přímkám roviny \(ρ´\) tak, že platí:
- Spojnice odpovídajících si bodů jsou rovnoběžné s přímkou \(s\).
- Průsečíky odpovídajících si přímek leží na přímce \(o\).
- Bod na přímce se zobrazí opět do bodu na přímce.
Tuto příbuznost nazveme osovou afinitou mezi dvěma různoběžnými rovinami,
přímku \(s\) směrem afinity, přímku \(o\) osou afinity.“
— Drábek K., Harant F., Setzer O.: Deskriptivní geometrie I [5]
Poznámka: Bodům A, A´ říkáme odpovídající si body. V některých literaturách můžeme najít označení body afinně sdružené.
Porovnejme vlastnosti osové afinity s příkladem „řez hranolu“. Rovina ρ odpovídá rovině řezu, rovina ρ´ odpovídá rovině dolní podstavy. Směr afinity s odpovídá směru hran, například AE. Odpovídající si body jsou například body A, A´. Osa o je průsečnice rovin ρ, ρ´ a odpovídá průsečnici roviny podstavy a roviny řezu.
