David Stanovský    //   

ÚVOD DO TEORIE GRUP 2026/27

Standardní kurz základů teorie grup, který vychází z klasické učebnice Josepha Rotmana An introduction to the theory of groups (Springer). Kurz pokryje většinu kapitol 1-5 a části kapitol 7, 10, 11, s mírnými změnami pořadí.

Sylabus:

  1. Základní strukturní pojmy (Rotman, kap. 1, 2, 3 a začátek 7)
    • příklady grup, podgrupy, generátory
    • homomorfismus, izomorfismus, faktorgrupy, věty o izomorfismu
    • konjugace, automorfismy, jednoduchost
    • direktní a semidirektní součiny
  2. Struktura konečných grup (Rotman, kap. 3, 4)
    • působení grupy na množině, Burnsideova věta
    • působení grupy na sebe sama, třídová rovnice
    • p-grupy, Sylowovy věty
  3. Řady normáních podgrup (Rotman, kap. 5)
    • subnormální a kompoziční řady, Jordan-Hölderova věta
    • řešitelné a nilpotentní grupy
  4. Abelovské grupy (Rotman, výběr z kap. 6, 10)
    • konečně generované abelovské grupy
  5. Volné grupy a prezentace (Rotman, výběr z kap. 11)
    • volné grupy a konečně prezentované grupy

Program: (odučený materiál + předběžný plán)
témadoporučené čtení cvičení téma testu
5.10.Příklady, podrupy: Základní rodiny grup. Podgrupy, rozklady podle podgrupy a Lagrangeova věta. Generátory, svazy podgrup.
Sami zopakovat: struktura cyklických grup. 		Rotman kap. 2 Podgrupy, generátory (finální)
12.10. Homomorfismy: Izomorfismus, malé grupy. Cayleyova a maticová reprezentace.
Faktorgrupy, věty o izomorfismu.
Rotman kap. 2 Homomorfismy, faktorgrupy (finální)
19.10. Konjugace: Konjugace, jednoduchost An.
Automorfismy: Vnitřní automorfismy, centrum. Grupy automorfismů grup, automorfismy Sn.
Rotman kap. 3 a 7 (str. 156-161) Konjugace, automorfismy. Podgrupy, generátory, homomorfismy, faktorgrupy.
26.10. Součiny: direktní a semidirektní součin, vnitřní a vnější. Příklady: malé grupy, grupy afinních zobrazení. Rotman kap. 2 (40-41) a 7 (167-171) Součiny.
2.11. Působení grupy na množině: základní pojmy, velikost orbity = index stabilizátoru, Burnsideova a Cauchyova věta.
Působení grupy na sebe sama: normalizátor, centralizátor, class equation.		 Rotman kap. 3, 4 Působení grupy, normalizátor, centralizátor. Konjugace, automorfismy, součiny.
9.11. Struktura p-grup.
Sylowovy věty: úvod 		Rotman kap. 4 Důsledky class equation. Působení grupy, normalizátor, centralizátor.
16.11. Sylowovy věty: důkaz, příklady a aplikace, malé grupy. Rotman kap. 4 Sylowovy věty.
23.11. Subnormální řady: Jordan-Hölderova věta, Zassenhausovo lemma, modularita svazu normálních podgrup. Rotman kap. 5 Subnormální řady. Sylowovy věty.
30.11. Řešitelnost: komutátory, derivovaná řada, základní vlastnosti řešitelných grup, Hallovy podgrupy. Rotman kap. 5 Řešitelné grupy.
7.12. Nilpotence: horní a dolní centrální řada, klasifikace konečných nilpotentních grup. Rotman kap. 5 Subnormální řady a řešitelné grupy.
14.12. Volné objekty, volné grupy, konečně prezentované grupy, příklady prezentací. Rotman kap. 11
 Prezentace grup.
4.1. Konečně generované abelovské grupy: volné abelovské grupy, rozklad na torzní a volnou část, klasifikace konečně generovaných abelovských grup. Rotman kap. 10 Prezentace grup.

Cvičení a přednáška nebudou oddělovány, cvičení budou rozložena mezi teorii podle potřeby.
Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat! V principu kdykoliv, ohlašte se předem emailem.

Zápočet:

  • Během semestru budeme psát šest krátkých testů (cca 20 minut), vždy na začátku přednášky (12:20) dle rozpisu v tabulce.
  • Předmětem testu jsou úlohy z pracovních listů k předchozím cvičením, tematicky viz rozpis. Předpokládá se, že studenti vyřešili všechna cvičení, která jsou označena tučným číslem, které není v závorce. Otázky budou zkoumat znalost postupů řešení. Časový limit je záměrně nastaven tak, že je téměř nemožné úlohy vyřešit na místě. Očekává se domácí příprava před testem a znalost postupů a principů řešení, do jisté míry i výsledků.
    Příklady: Nebudu se ptát, kolik má grupa D12 podgrup, ale mohu se zeptat na odhad, např. a) míň než 5, b) mezi 5-15, c) víc než 15. Naopak, mohu se zeptat, kolik přesně podgrup má grupa Z31*. Nebudu chtít úplný důkaz, Sn/An je izomorfní Z2, ale mohu chtít napsat homomorfismus, který po dosazení do 1. věty o izomorfismu dá odpověď. Nejrůznější ano/ne otázky bez důkazu (je to podgrupa? je to generující množina? jsou následující permutace konjgované?). Mohu nechat vyčíslit nějakou veličinu, například centrum dané grupy (bez formálního důkazu, že to je správná odpověď). Atd.
  • Počítá se nejlepších pět ze šesti testů, o zkouškovém období bude opravný test. Detaily TBA.
  • Bodovou hranici stanovím po prvním testu (nemám úplně dobrou představu o obtížnosti, je to pedagogický experiment reagující na novou AI realitu).
  • Body z testů ZDE (zpřístupním po prvím testu).

Zkouška: Zkouška bude kombinací písemné a ústní části. Detaily TBA.

Pro inspiraci minulá verze tohoto kurzu.