Algebra 1 (NMAG201) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku, matematiku pro informační technologie a matematické metody informační bezpečnosti v zimním semestru 2019/2020.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2019/2020. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

Základní informace

Pro sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Obsah semestru tvoří studium dělitelnosti a prvočíselných rozkladů v dostatečně abstraktní podobě. To nakonec vede k pochopení vlastností historicky jednoho ze základních algebraických objektů - polynomů. Látka je zhruba pokryta kapitolou I skript Davida Stanovského a přednáška byla před dvěma lety natočena na video.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí, 10:40-12:10 hod. v místnosti K1,
  • cvičení ve středu, 15:40-16:25 hod. v místnosti K5 (cvičící A. Slávik),
  • cvičení ve středu, 16:30-17:15 hod. v místnosti K5 (cvičící A. Slávik),
  • cvičení ve středu, 15:40-16:25 hod. v místnosti K8 (cvičící J. Žemlička),
  • cvičení ve středu, 16:30-17:15 hod. v místnosti K8 (cvičící J. Žemlička).

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška a zápočet

Zkouška bude primárně písemná a zápočet se uděluje společně se složenou zkouškou. Z maximálního počtu 100 bodů můžete získat až 85 bodů za samotný písemný test, na který budete mít 120 minut, a 15 bodů za řešení domácích úkolů v průběhu semestru. I proto doporučuji úkoly průběžně řešit. K úspěšnému absolvování je třeba získat alespoň 60 bodů. Studenti, kteří uspěli v testu, mohou po domluvě absolvovat ještě ústní přezkoušení, kde je možné si vylepšit (ale samozřejmě i zhoršit) hodnocení.

Zkoušet se bude teorie probraná na přednášce, která je shrnuta je v tabulce níže, i příklady. Některé otázky budou zaměřeny na porozumění tématu, tj. použití naučené látky na jednoduché ale ne úplně rutinní problémy. Hodnotí se také korektní matematický zápis.

K dispozici je vzor testu. Termíny zkoušek jsou vypsány a přihlašovast se je možné pomocí SISu:

  1. pátek 10. ledna od 14:00 hod. v učebně K1 (předtermín, odkaz do SISu, výsledky testu),
  2. čtvrtek 16. ledna od 12:20 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, výsledky testu),
  3. středa 29. ledna od 11:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, výsledky testu),
  4. čtvrtek 6. února od 12:20 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu, výsledky testu),
  5. středa 23. září od 10:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu výsledky testu).

Během semestru bude zadáno 6 sad domácích cvičení, které se budou objevovat také v tabulce s probranou látkou. Termín odevzdání (s výjimkou Vánoc) bude vždy po přednášce za 14 dní. Úkoly se odevzdávají do schránky u vchodu na katedru algebry, osobně na přednášce nebo e-mailem v PDF (v tom případě ale dbejte, prosím, na to, aby se řešení dalo čitelně černobíle vytisknout, u fotek z telefonu zejména na dostatečný kontrast!)

Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou. Na první řešení napište jméno i přezdívku, pod kterou budou výsledky zveřejňovány na webu. Úlohy můžete konzultovat se spolužáky, ale řešení musí sepsat (ne opsat!) každý sám (to se Vám bude hodit i u zkoušky). Z každé série je možné získat 15 bodů, průměr z pěti nejlepších sérií tvoří výše zmíněných 15 bodů ke zkoušce.

Co bylo probráno a domácí úlohy

Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.

Datum Bylo probráno Zdroj Úlohy
7. 10. Úvod k algebře. Definice a příklady okruhů, oborů integrity a těles. skripta, kap. 1, 4.1, 4.2,
video č. 1 		domácí úlohy
14. 10. Základní vlastnosti komutativních okruhů, charakteristika okruhu, isomorfismy okruhů, okruhy polynomů (začátek). skripta, kap. 4.1 - 4.2 a 12.4 - 12.5,
video č. 5 a č. 4 		 
21. 10. Okruhy polynomů v jedné i více proměnných, základní vlastnosti a terminologie. Dosazování do polynomu, kořeny, polynomiální zobrazení. Obory zlomků a podílová tělesa. Dělení polynomů se zbytkem (začátek). skripta, kap. 4.2 - 4.3, 7.1,
video č. 4 a č. 8 (podílová těl.) 		domácí úlohy
4. 11. Dělení polynomů se zbytkem (dokončení), kořeny a dělitelnost, vícenásobné kořeny a derivace. skripta, kap. 10.1, 11.1,
video č. 4 		domácí úlohy
11. 11. Vícenásobné kořeny a derivace (dokončení), Základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta. skripta, kap. 11.1 a 3.2 - 3.4,
video č. 2 a č. 3 		 
18. 11. Důkaz Eulerovy věty a formule pro Eulerovu funkci, myšlenka šifry RSA, Čínská věta o zbytcích. Rozklady na ireducibilní polynomy v T[x] a jejich jednoznačnost. skripta, kap. 3.4 a 3.5,
video č. 3 		domácí úlohy
25. 11. Čínská věta o zbytcích pro polynomy, vztah s Lagrangeovou interpolací a Taylorovými rozvoji, počítání modulo polynom a konečná tělesa, myšlenka Reed-Solomonových samoopravných kódů. skripta, kap. 10.6,
kap. 2.1 a 2.2 v textu o polynomech 		 
2. 12. Dělitelnost v oborech integrity—asociovanost prvků, invertibilní prvky, největší společný dělitel, ireducibilní prvky, příklady. Kvadratická rozšíření celých čísel (okruhy Z[√s]) a vlastnosti normy. Definice Gaussových oborů. skripta, kap. 5, 6 a 8.1,
video č. 5 a č. 6 		domácí úlohy
9. 12. Vlastnosti a charakterizace Gaussových oborů přes existenci NSD a neexistenci nekonečných řetězců vlastních dělitelů, eukleidovské obory. skripta, kap. 6 a 7.1,
video č. 6 a č. 7 		 
16. 12. Ideály a charakterizace těles, hlavní ideály i příklady nehlavních, implikace "R je eukleidovský ⇒ R je obor integrity hlavních ideálů ⇒ R je Gaussův". skripta, kap. 7,
video č. 7 		domácí úlohy
6. 1. Obory polynomů nad Gaussovými obory a Gaussova věta, symmetrické polynomy a Vietovy vztahy. skripta, kap. 9,
kap. 1 a 4 v textu o polynomech,
části videí č. 8, č. 9 a č. 10 		 

Literatura a video

Přednášky z akademického roku 2017/2018 byly natočeny na video.

Základním psaným zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitolu I. Látku doplňuje nový (ještě ne úplně pročištěný) text o polynomech spolu s připravovanou sbírkou úloh:

  • D. Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, 2010,
  • D. Stanovský, Obory polynomů a kvadratická rozšíření celých čísel. [PDF ke stažení]
  • D. Stanovský, Příklady z algebry. [PDF ke stažení]

Existuje rovněž řada pěkných učebnic v angličtině, např.

  • J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]

Další odkazy

Na tuto přenášku v letním semestru navazuje přednáška Algebra 2.

Přednáška z algebry v minulých letech:

Skripta k algebře od dalších kolegů z katedry (jejich náplň se ale od náplně této přednášky často dost liší): Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička.