Algebraická geometrie [Jan Šťovíček]

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2016/2017. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

přednáška v úterý 10:40-12:10 hod. v místnosti K5,
cvičení v úterý 12:20-13:50 hod. v místnosti K5.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 22. listopadu)

Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x₁, ..., x_n] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x₁, ..., x_n], které I obsahují.
Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (3 - 2i, 4 + i) ∈ A².
Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y,z]/(xz,yz) a prvek f := y-z ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh R_f (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x,y^±1] × C[z^±1].

Příklady č. 2 (termín odevzdání 20. prosince)

Komplexní algebraickou podmnožinu X ⊆ A² nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V(f), kde f ∈ C[x,y] je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x²}) nebo V({xy-1}).
Uvažujte kubickou rovinnou křivku X = V(x³ + y³ - 3x² - 3y² +3xy +1) nad tělesem komplexních čísel. Najděte všechny singulární body X. Dále najděte racionální parametrizaci křivky X (tj. bijekci f: A¹\F → X\F' danou na souřadnicích racionálními funkcemi, kde F a F' jsou vhodné konečné množiny).
Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních vektorových podprostorů V ⊆ K⁴ do projektivního prostoru P⁵ následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a₀, a₁, a₂, a₃) a w = (b₀, b₁, b₂, b₃), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

$\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}$

a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d₀, d₁, ..., d₅ podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d₀ : d₁ : ... : d₅).
1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
2. Ukažte, že obraz X zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P⁵ jednou kvadratickou rovnicí.

Příklady č. 3 (termín odevzdání 10. ledna)

Uvažujte zobrazení f: P¹ → P³ nad tělesem komplexních čísel dané předpisem f((s:t)) = (s³:s²t:st²:t³).
1. Ukažte, že f je dobře definovaný homomorfismus projektivních algebraických množin.
2. Najděte konkrétní homogenní polynomy f₁, f₂, ..., f_r ∈ C[x₀, x₁, x₂, x₃] takové, že pro obraz X zobrazení f platí X = V_proj(f₁, f₂, ..., f_r).
3. Ukažte, že homomorfismus f: P¹ → X je isomorfismus projektivních algebraických množin.
Uvažujte šestidimenzionální prostor V tvořený všemi polynomy z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P⁵ tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A² jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P⁵ (tedy ireducibilní kuželosečky samy tvoří kvaziprojektivní varietu).

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

4. 10. 2016: Afinní algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické podmnožiny afinní roviny ([Ful], kap. 1.2 - 1.6, 6.1; [Ga], kap. 1.1).
11. 10. 2016: Rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty (dokončení), algebraické variety a jejich charakterizace přes prvoideály, polynomiální zobrazení, vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů ([Ful], kap. 1.5, 2.1 - 2.2; [Ga], kap. 1.3).
18. 10. 2016: Dokončení vztahu mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů, lokalizace okruhů, slabá věta o nulách ([Ful], kap. 1.7, 1.10; [AM], kap. 3).
25. 10. 2016: Radikálové ideály, Hilbertova věta o nulách, charakterizace souřadnicových okruhů mezi algebrami, maximální ideály souřadnicových okruhů, standardní báze Zariského topologie, formulace geometrického významu lokalizace K[X]_f ([Ful], kap. 1.7, 6.1; [Ga], kap. 1.2, 2.1).
1. 11. 2016: Geometrický význam lokalizace K[X]_f (důkaz), regulární funkce a jejich popis na bázových otevřených množinách Zariského topologie ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
15. 11. 2016: Lokální okruhy v bodech algebraické množiny, definice (ne)singulárních bodů na rovinných křivkách ([Ful], kap. 2.4, 3.1; [Ga], kap. 2.1).
22. 11. 2016: Diskrétní valuační obory a charakterizace nesingulárních bodů na rovinných křivkách, ([Ful], kap. 2.5, 2.9, 3.2; [Ga], kap. 4.4; text o rovinných křivkách).
29. 11. 2016: Kotečný prostor, (ne)singulární body na algebraických množinách obecně, projektivní algebraické množiny, na cvičení produkty afinních a projektivních prostorů a algebraické podmnožiny v nich ([Ful], kap. 4.1, 4.2, 4.4; [Ga], kap. 3.1, 3.3, 4.4).
6. 12. 2016: Projektivní věta o nulách, homogenní souřadnicové okruhy, regulární funkce na projektivních algebraických množinách, homomorfismy mezi projektivními algebraickými množinami, případně mezi algebraickými podmnožinami produktů projektivních a afinních prostorů ([Ful], kap. 4.2, 4.4, 6.3; [Ga], kap. 2.3, 3.2, 3.3).
20. 12. 2016: Uzavřenost homomorfismů z projektivních do kvaziprojektivních algebraických množin, uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X pro kvaziprojektivní algebraické množiny X ([Ga], kap. 3.3, 3.4).
3. 1. 2017: Krullova dimenze a její výpočet pro afinní a projektivní prostory, na cvičení biracionální ekvivalence ([Ful], kap. 6.6; [Ga], kap. 1.3, 4.1).
10. 1. 2017: Dokončení výpočtu Krullovy dimenze afinních a projektivních prostorů, různé charakterizace Krullovy dimenze, svazky K-algeber, okruhované prostory a homomorfismy mezi nimi, abstraktní algebraické množiny ([Ful], kap. 6.5; [Ga], kap. 2.2 - 2.5, 4.1 - 4.2).

Literatura

Algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Jádro přednášky je prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga]	A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful]	W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[Sh]	I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[AM]	M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO]	D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na]	M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee]	A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1]	A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2]	A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3]	A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Algebraická geometrie