David Stanovský
// 
|
|
| PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2022/23 |
Proseminář z algebry (NMAG261) je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník. Bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.
Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů),
doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce.
V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:
- samoopravné kódy
- aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
- úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
- diskrétní logaritmus a kryptografie
- úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
- idea důkazu velké Fermatovy věty
Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu.
Průběžně aktualizovaný program přednášky + předběžný plán:
| téma | doporučené čtení a koukání | domácí úlohy | |
| 13.2. | Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems. |
$1M problems, Fieldsovy medaile,
historie algebry
|
|
| 20.2. | Kvaterniony, oktoniony a dál? | oktoniony na wikipedii | |
| 27.2. | Samoopravné kódy | skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8 Hammingův kód na wikipedii |
|
| 6.3. | Konstrukce konečných těles, interpolace, Reed-Salomonovy samoopravné kódy. | skripta Počítačová algebra, kap. 8 RS kódy na wikipedii |
DÚ 1 do 20.3. |
| 13.3. | Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. | VIDEO skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4 latinské čverce na wikipedii, Dobble |
|
| 20.3. | Řešení diofantických rovnic pomocí rozkladů v číselných rozšířeních. Derivace a vícenásobné kořeny. | skripta Algebra22, sekce 3.5, 6.3 | |
| 27.3. | Úvod do algebraické geometrie: Bézoutova věta, eliptické křivky, grupová operace na eliptických křivkách. |
wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky přehledový článek o grupách na eliptických křivkách |
|
| 3.4. | Grupová operace na eliptických křivkách: využití v kryptografii, Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka. Loydova patnáctka. Copánkové grupy. |
BSD domněnka skripta sekce 14.3 copánkové grupy |
DÚ 2 do 17.4. |
| 10.4. | ---- velikonoce ---- (detektivka na večer) | (video + komentář k videu) | |
| 17.4. | Maticové reprezentace grup. Cyklické grupy v kryptografii. |
skripta sekce 17.5, 18.3 | |
| 24.4. | Volné grupy a prezentace grup | zápisky | DÚ 3 do 22.5. |
| 1.5. | ---- volno ---- | ||
| 8.5. | ---- volno ---- | ||
| 15.5. | Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. | video + komentář k videu | |
| 22.5. | Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka NEBO Od Cardanových vzorců ke Galoisovým grupám |
Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie. Pokud Vás zajímá, na čem matematika stojí, pak Úvod do teorie množin a Úvod do matematické logiky.
Zápočet z prosemináře: (předběžná verze)
V průběhu semestru budou zadáno několik kvízů a asi 3 sady písemných domácích úloh.
Kvízy vyplňuje každý sám, písemné úkoly můžete odevzdávat po dvojicích (v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy a každý musí vlastnoručně sepsat řešení aspoň jedné úlohy).
Na zápočet musíte získat aspoň 50% bodů. Pokud někomu bude chybět malé množství bodů na zápočet, zadám individuálně náhradní sadu.
Písemné úkoly se odevzdávají k rukám přednášejícího, nebo emailem na stanovsk@karlin.mff.cuni.cz ve formátu PrijmeniPrijmeni_cislosady.PDF (čitelný sken v jedenom souboru, na bílem pozadí bez tmavých okrajů).
body z domácích úloh. (NOVINKA: odkaz už funguje)