[MA pro F, 1. ročník, ZS 2000/2001, M.Rokyta]
Požadavky k ústní části zkoušky
[ MAIN |
Sylabus |
Termíny |
Pravidla |
Požadavky |
Statistika |
Seznam ]
Obecně
Pokud není řečeno jinak, chci věty i s důkazy. Požadavky psané stojatým písmem jsou pro všechny. Otázky psané kurzívou a uvozené slovy "Na 1:" budu pokládat jen těm, kteří budou usilovat o známku 1. Věty, které považuji za nejdůležitější, jsou pro Vaši lepší orientaci v teorii analýzy podtrženy.
Okruhy otázek k ústní zkoušce
- Axiom o supremu: Omezená množina (shora, zdola); horní a dolní závora množiny; definice suprema a infima; axiom o supremu - 2 vlastnosti suprema; infimum; zavedení suprema a infima neomezených a prázdných množin.
- Zobrazení, spočetnost: Co je to zobrazení, definiční obor a obor hodnot zobrazení; prosté a inverzní zobrazení; spočetné a nespočetné množiny. Ukažte, že N, Z, Q jsou spočetné. Na 1: ukažte, že R je nespočetná množina.
- Posloupnosti reálných čísel: Pojmy: limita posloupnosti, posloupnost (ryze) monotónní, omezená. Věty: konvergentní posloupnost je omezená; početní pravidla pro limity (součet, rozdíl, podíl, součin) - případ vlastních limit s důkazem, případ nevlastních limit (aritmetika s nekonečnými body) bez důkazů. Na 1: diskutujte i některé důkazy případě aritmetických operací s nevlastními limitami. Co je to "neurčitý výraz". Nerovnosti v limitách, věta o policajtech. Monotónní posloupnost má vždy limitu; definice čísla e, znát bez důkazu odhad pro něj pomocí součtu převrácených hodnot faktoriálů (na 1: ukažte, jak se odvodí). Ukažte, že e je iracionální. Pojem podposloupnosti; Bolzano-Weierstrassova věta. Na 1: pojem hromadného bodu, limes inferior a limes superior. Pojem cauchyovské posloupnosti (B-C podmínka - vysvětlete). Věta: posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská.
- Reálné funkce a jejich limity: Pojmy: monotónní a omezené (shora, zdola) funkce; sudost, lichost, periodicita; prostota, inverzní funkce; vlastní limita ve vlastním bodě; nevlastní limity a limity v nevlastních bodech; jednostranné limity; lokální omezenost funkce, která má vlastní limitu ve vlastním bodě; pravidla pro počítání limit (s důkazy pro vlastní limity, na 1: diskuse některých případů pro nevlastní limity - stejně jako u posloupností); nerovnosti v limitě. Monotónní funkce má (jednostrannou) limitu. Věta o limitě složené funkce.
- Spojitost reálné funkce: Definice spojitosti funkce v bodě; souvislost spojitosti v bodě s vlastní limitou ve vlastním bodě a funkční hodnotou; spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí, spojitost složené funkce; jednostranná spojitost. Na 1: klasifikace bodů nespojitosti.
- Derivace: Derivace funkce v bodě, jednostranná derivace; vyšší derivace; geometrický význam derivace; vlastní a nevlastní derivace. Souvislost derivace a spojitosti funkce v bodě; Derivace součtu, součinu, podílu. Diferenciál; Derivace složené a inverzní funkce.
- Primitivní funkce: Definice primitivní funkce; věty: rovnost všech primitivních funkcí k dané funkci až na konstanty (diskutujte); věta: primitivní funkce je vždy spojitá; spojitá funkce má primitivní funkci (bez důkazu); integrace per partes; dvě věty o substituci.
- Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí: Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je omezená. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na něm maxima a minima. Věta o nabývání mezihodnot. Věta o spojitém obrazu intervalu; spojitost inverzní funkce.
- Věty o střední hodnotě a jejich důsledky: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyho věta; L'Hospitalova pravidla (s důkazem jen pro typ "0/0"); věta o jednostranné derivaci jako jednostranné limitě derivací; věta: vztah monotonie a znaménka derivace v otevřeném intervalu.
- Taylorův polynom: Symbolika "malé o". Věta o jednoznačnosti a existenci Taylorova polynomu. Taylorův polynom pro některé elementární funkce (zpaměti pro exp, sin, cos, ln, zobecněná binomická věta). Věta o Lagrangeově tvaru zbytku. Na 1: aplikujte na "nekonečný polynom", tj. Taylorovu řadu, ukažte, že exponenciála, sinus a kosinus se rovnají své řadě na R.
- Konvexní a konkávní funkce: Definice funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní na intervalu; věta: souvislost konvexity s druhou derivací, pokud tato existuje; inflexní body; věta: inflexní bod a druhá derivace v bodě. Diskuse o extrémech: vztah lokálních extrémů funkce a derivace v bodě, resp. derivace na okolí bodu, podobně pro inflexní bod.
Co nebudu chtít u ústní zkoušky
Úvodní povídání o množinách, výrocích, zavádění různých číselných množin; zavádění a seznam elementárních funkcí, hledání kořenů polynomů, rozklad racionálních funkcí na parciální zlomky, integraci racionálních funkcí, speciální substituce. Budu však chtít, abyste všechny početní aspekty těchto věcí uměli spolehlivě používat v praxi tj. u písemky. (U polynomů nebudou potřeba Cardanovy vzorce, všechny polynomy vyššího stupně u písemky půjdou vyřešit metodou "uhodnutí racionálních kořenů")
Doporučená literatura
Zkušenost sice praví, že student se nejvíce učí z [7], ale občas je potřeba mít po ruce i nějaké to skriptum... Minimální výbavou by měla být Kopáčkova skripta [1], jejichž obsah je nejblíže průběhu přednášky, a Kopáčkova příkladová skripta [2]. Klasické knihy [3] a [4] jsou spíše pro studenty matematiky, ale jejich prolistování neublíží ani fyzikovi, který je zvědavý na klasické učebnice analýzy. Rudinova kniha [5] je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde. Demidovič [6] je nepřebernou zásobárnou příkladů. Je sice rusky, ale "slovních úloh" je tam málo, a proto je přínosný i pro ty, kteří se v azbuce nevyznají.
- Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky I., (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- Jarník, V.: Diferenciální počet 1, Academia Praha.
- Jarník, V.: Integrální počet 1, Academia Praha.
- Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
- Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matěmatičeskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
- ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.
