Řešit kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, kde , pokud má nezáporný diskriminant, už umíme z doby, kdy se probíralo téma rovnice.

Tehdy jsme kořeny počítali podle vztahu .

Nyní se budeme zabývat případem, kdy je diskriminant záporný. Rovnice má opět dva různé kořeny. Ale protože je diskriminant záporné číslo, nelze z něho v oboru reálných čísel vyjádřit odmocninu.

Řešíme-li kvadratickou rovnici v oboru komplexních čísel, postupujeme takto.
Záporné číslo zapíšeme jako . Rovnost platí, protože . Číslo je nezáporné, takže z něho už lze počítat druhou odmocninu. To znamená, že kořeny rovnice získáme

ze vztahu .

Jak vidíme ze znamének u imaginaráních složek, tyto dva kořeny jsou navzájem komplexně sdružená imaginární čísla.

Výše uvedené poznatky lze shrnout do následující věty.

Věta

Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty, kde ,
a záporným diskriminantem má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny,

a to sdružená imaginární čísla , .

Poznámka

V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení.

Příklady

Řešte v rovnice:

a)

b)

c)

Poznámka

Kromě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty existují také kvadratické rovnice s koeficienty komplexními. Toto téma je však nad rámec našeho učiva, a proto se ním nebudeme podrobněji zabývat. K jeho nastudování je možné použít knihu [1] z přehledu použité literatury.

Definice

Binomickou rovnicí s neznámou nazveme každou rovnici tvaru , kde .

Každou binomickou rovnici lze upravit na tvar . Řešit takovou rovnici pak znamená určit všechny -té odmocniny z čísla . Označíme .

Je-li tedy , pak i a rovnice má právě jedno řešení .

Je-li a , pak rovnice má různých komplexních kořenů, a to , kde .

Tyto kořeny jsou vrcholy pravidelného -úhelníka se středem v počátku a poloměrem kružnice opsané .

Podrobnější odvození kořenů rovnice bylo uvedeno v kapitole
n-tá odmocnina z komplexního čísla.

Příklady

Řešte v rovnice:

a)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.

, kde

b)

Číslo zapíšeme v goniometrickém tvaru a spočítáme všechna řešení rovnice.

, kde

Poznámka

Binomickou rovnici , kde , lze také řešit pomocí rozkladu levé strany na součin mnohočlenů.

Při tomto postupu nejprve obě strany rovnice vydělíme číslem a poté rozložíme levou stranu na součin mnohočlenů nižších stupňů. Dále využijeme vlastnosti součinu, že součin je roven nule, pokud je roven nule alespoň jeden z činitelů. Položíme všechny mnohočleny rovny nule a z takto vzniklých dílčích rovnic dopočítáme všechna řešení původní rovnice.

Při rozkladu levé strany se často používají vzorce

,

,

,

.

Příklady

Řešte v rovnice:

a)

Rovnici vydělíme číslem .

Levou stranu rovnice rozložíme na součin mnohočlenů.

Vyřešíme kvadratickou rovnici.

b)

Levou stranu rovnice rozložíme na součin mnohočlenů.