Goniometrické rovnice a nerovnice

Úlohy

Riešte rovnice s neznámou \(t \in \mathbb{R}\):

1. \(\cos (4t + 60^\circ) = \cos t\)

• \(\cos (4t + 60^\circ) - \cos t = 0\)
• \(-2\sin {\Large 4t + 60^\circ + t \over \Large 2} \sin {\Large 4t + 60^\circ - t \over \Large 2} = 0\) (Používame vzorce uvedené v časti.)
• \(-2\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} \sin {\Large 3t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0 \) (Využijeme \({\pi \over 2} = 90^\circ \Rightarrow 60^\circ = {\pi \over 3}.)\)
• Prvá možnosť: \(-2\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} \sin {\Large 3t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0 \Leftrightarrow \sin {\Large 5t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0 \vee \sin {\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0\) Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
• Prvá možnosť: \(\sin {\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = 0\)
• Zavedieme substitúciu \({\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = y\) a získame rovnicu:
• \(\sin y = 0\)
• 
• \(\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}\) Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu.
• \({\Large 5t + {\Large \pi \over 3} \over \Large 2} = k\pi\)
• \(t_1 = {2 \over 5} k\pi - {1 \over 15}\pi; k \in \mathbb{Z}\)
• Druhá možnosť: \(\sin {\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = 0\)
• Zavedieme substitúciu \({\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = y\) a získame rovnicu:
• \(\sin y = 0\)
• 
• \(\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}\) Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu.
• \({\Large 3t + {\pi \over 3} \over \Large 2} = k\pi\)
• \(t_2 = {2 \over 3} k\pi - {1 \over 9}\pi; k \in \mathbb{Z}\)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {2 \over 5} k\pi - {1 \over 15}\pi; {2 \over 3} k\pi - {1 \over 9}\pi \}\;.\)

2. \(-\sin 2t = \sin 10t\)

• \(\sin 10t + \sin 2t= 0\)
• \(2\sin {\Large 12t \over \Large 2} \cos {\Large 8t \over \Large 2} = 0\) (Používame vzorce uvedené v časti.)
• \(2\sin 6t \cos 4t = 0\)
• \(2\sin 6t \cos 4t = 0 \Leftrightarrow 2\sin 6t = 0 \vee \cos 4t = 0\) (Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule.)
• Prvá možnosť: \(2 \sin 6t = 0 \Rightarrow \sin 6t = 0\)
• Zavedieme substitúciu \(6t = y\)
• \(\sin y = 0\)
• 
• \(\sin y = 0 \Rightarrow y = k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
• Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu. \(6t = k\pi\)
• \(t_1 = k{\pi \over 6}, k \in \mathbb{Z} \)
• Druhá možnosť: \(\cos 4t = 0\)
• Zavedieme substitúciu \(4t = y\)
• \(\cos y = 0\)
• 
• \(\cos y = 0 \Rightarrow y = {\pi \over 2} k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
• Vrátime sa k substitúcií a upravíme rovnicu \(4t = {\pi \over 2} + k\pi\)
• \(t_2 = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4}, k \in \mathbb{Z}\)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ k{\pi \over 6}; {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \}\;.\)

3. \(\sin \left (t + {\pi \over 4} \right)\cos \left (t + {\pi \over 4} \right) = {1 \over 4}\)

• \(\left (\sin t \cos {\pi \over 4} + \cos t \sin {\pi \over 4} \right) \left(\cos t \cos {\pi \over 4} - \sin t \sin {\pi \over 4} \right) = {1 \over 4}\)
• \(\left ({\sqrt{2} \over 2} \sin t + {\sqrt{2} \over 2} \cos t \right)\left ({\sqrt{2} \over 2} \cos t - {\sqrt{2} \over 2} \sin t \right) = {1 \over 4}\) (Používame vzorce uvedené v časti.)
• \({1 \over 2}\cos^2 t - {1 \over 2} \sin^2 t = {1 \over 4}\)
• \({1 \over 2}\left(\cos^2 t - \sin^2 t \right) = {1 \over 4}\) Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
• \(1 - 2\sin^2 t = {1 \over 2}\)
• \(2\sin^2 t = {1 \over 2}\)
• \(\sin^2 t = {1 \over 4}\)
• \(\sin t = \pm {1 \over 2}\)
• 
• \(\sin t = \pm {1 \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} + k\pi; {5 \over 6}\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {\pi \over 6} + k\pi; {5\pi \over 6} + k\pi \}\;.\)

4. \(\sin \left (t + 45^\circ \right) + \sin \left (t - 45^\circ \right) = {\sqrt{2} \over 2}\)

• \(\left (2\sin {2t \over 2} \cos {90^\circ \over 2} \right) = {\sqrt{2} \over 2}\) (Používame vzorce uvedené v časti).
• \(\left (2\sin t \cos 45^\circ \right) = {\sqrt{2} \over 2}\) (Používame tabuľkové hodnoty uvedené v časti).
• \({\sqrt{2} \over 2}2\sin t - {\sqrt{2} \over 2} = 0\)
• \({\sqrt{2} \over 2}.(2\sin t - 1) = 0\) Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
• \({\sqrt{2} \over 2}.(2\sin t - 1) = 0 \Leftrightarrow (2\sin t - 1) = 0\)
• \(2\sin t - 1 = 0\)
• \(\sin t = {1 \over 2}\)
• 
• \(t_1 = {\pi \over 6} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\) (Prvé riešenie, využívame vlastnosť, že funkcia sínus je periodická.)
• \(t_2 = {5 \over 6} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\) (Druhé riešenie.)
• Výsledné riešenie napíšeme v tvare: \(K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\ {\pi \over 6} + 2k\pi; {5\pi \over 6} + 2k\pi \}\;.\)

5. \({\rm tg}\: (t + {\pi \over 6})\ {\rm tg}\: (t - {\pi \over 3}) = 1\)

• \({\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\rm tg}\: {\pi \over 6} \over 1\ -\ \Large{\rm tg}\: t\ \Large{\rm tg}\: {\pi \over 6}}\ .\ {\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\rm tg}\:\ {\pi \over 3} \over 1\ +\ \Large{\rm tg}\: t\ \Large{\rm tg}\:\ {\pi \over 3}} =1 \) (Používame vzorce uvedené v časti.)
• \({\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \over 1\ -\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t}\ .\ {\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\sqrt {3}} \over 1\ +\ \Large{\sqrt{3}}{\rm tg}\: t} = 1\) (Používame tabuľkové hodnoty funkcie tangens uvedené v časti.)
• \({{\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt {3}}\Large {\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt {3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t\ -\ 1} \over {1 + \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t\ -\ \Large{\rm tg^2}\: t}} = 1\)
• \({{\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt{3} \over 3} \Large{\rm tg}\: t - 1} \over {-1\Large(\Large{\rm tg^2}\: t\ -\ \Large{\sqrt{3}}\Large{\rm tg}\: t\ +\ \Large{\sqrt 3 \over 3}\Large{\rm tg}\: t -1)}} = 1 \)
• \(-1 \not = 1 \Rightarrow K = \emptyset\) (Množina koreňov je prázdna.)